=for timestamp
Mo Jan 24 16:35:22 CET 2005

=head3 Differentialrechnung

=head4 Einführung

Steigung einer Kurve im Punkt M<P_0(x_0; y_0)> -- Tangente:

Wir wählen einen benachbarten Punkt M<P(x; y)> und bestimmen die Steigung
M<m_s> der Sekante M<P_0P>.

M<m_s = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y - y_0}{x - x_0};>
(Differenzenquotient)

Wander der Punkt M<P> auf der Kurve gegen den festen Punkt M<P_0>, so strebt
die zugehörige Sekante einer Grenzlage zu, mit der Steigung M<m_t>
(Tangentensteigung).

M<<
{} P \to P_0; \Leftrightarrow
{} \left\{\begin{array}{lll}x&\to&x_0; \\ y   &\to&y_0;\end{array}\right\} \Leftrightarrow
{} \left\{\begin{array}{lll}x&\to&x_0; \\ f(x)&\to&f(x_0);\end{array}\right\} \Rightarrow
{} m_t = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0};
>> (Differentialquotient von M<f> an der Stelle M<x_0>)


=for timestamp
Mi Jan 26 16:12:21 CET 2005

I<Def.>: Eine Funktion M<f: x \mapsto f(x)> heißt an der Stelle M<x_0 \in D_f>
differenzierbar, wenn die zugehörige Differenzenquotientenfunktion M<m_s =
\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}> mit M<x \in D_f \setminus \left\{ x_0 \right\}>
an der Stelle M<x_0> stetig ergänzbar ist, d.h. wenn M<m_t = \lim\limits_{x \to
x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}> (Differentialquotient) existiert. Der
Grenzwert wird auch als I<Ableitung> von M<f> an der Stelle M<x_0> bezeichnet
und man schreibt dafür M<f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) -
f(x_0)}{x - x_0};>


Beispiele: Ableitung an der Stelle M<x_0>:

=over

=item *

Quadratfunktion:

M<f(x) = x^2;>

⇒ M<f'(x_0) = 2x_0;>

=item *

Identische Funktion:

M<f(x) = x;>

⇒ M<f'(x_0) = 1;>

=item *

Konstante Funktion:

M<f(x) = c;>

⇒ M<f'(x_0) = 0;>

=item *

Kubische Funktion:

M<f(x) = x^3;>

⇒ M<f'(x_0) = 3x_0^2;>


=for timestamp
Do Jan 27 17:48:31 CET 2005

=item *

Betragsfunktion an der Stelle M<x_0 = 0>:

M<f(x) = \left|x\right| = \begin{cases}-x & \text{f"ur } x E<lt> 0; \\ x &
\text{f"ur } x E<gt> 0;\end{cases}>

Rechtsseitige Ableitung: M<f_r'(0) = \ldots = 1;>

Linksseitige Ableitung:  M<f_l'(0) = \ldots = -1;>

M<\left|x\right|> ist an der Stelle M<x_0 = 0> nicht diffbar (Knickstelle).

=item *

Wurzelfunktion:

M<f(x) = \sqrt{x};>

M<f'(x_0) = \ldots = \frac{1}{2\sqrt{x_0}};>

=item *

Reziproke Funktion:

M<f(x) = \frac{1}{x};>

M<f'(x_0) = \lim\limits_{x\to{}x_0}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0} =
\lim\limits_{x\to{}x_0}\dfrac{x_0-x}{xx_0\left(x-x_0\right)} =
\lim\limits_{x\to{}x_0}-\dfrac{1}{xx_0} = -\dfrac{1}{x_0^2};>

=back


=for timestamp
Mo Jan 31 17:34:36 CET 2005

=head4 Die Ableitungsfunktion

I<Def.>: Ist die Funktion M<f> für alle M<x \in D_f> diffbar, so heißt M<f>
I<in M<D_f> diffbar>. Man nennt dann die Funktion M<f': x \mapsto f'(x); \qquad
x \in D_f> die Ableitungsfunktion (kurz die Ableitung) von M<f>. Die
Rechenoperation, die M<f> überführt in M<f'>, nennt man I<Ableiten> oder
I<Differenzieren>.

Andere Schreibweisen für M<f'>: M<y'>, M<f'(x) =
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x};> ("M<\mathrm{d}y> nach M<\mathrm{d}x>"),
M<f'(x) = \dot{f}(t);>


=for timestamp
Do Feb  3 17:19:22 CET 2005

=for comment
Schon am Mi.

Merke: Ist M<f> an der Stelle M<x_0> diffbar, so ist M<f> dort auch stetig.
(Notwendig für die Diffbarkeit ist Stetigkeit.)

M<f> diffbar; ⇒ M<f> stetig;

M<f> nicht stetig; ⇒ M<f> nicht diffbar;


=head4 Ableitungsregeln

=over

=item *

Ableitung einer Summe: M<f(x) = u(x) + v(x);>

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   f'(x_0) &=& \lim\limits_{x\to{}x_0} \dfrac{u(x) + v(x) - u(x_0) - v(x_0)}{x - x_0} = \\
{}   &=& \lim\limits_{x\to{}x_0}\left[ \dfrac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} + \dfrac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \right] = \\
{}   &=& u'(x_0) + v'(x_0);
{} \end{array}\\
>> (Summenregel)

=item *

Konstanter Faktor: M<f(x) = k \cdot u(x);>

M<f'(x_0) = \lim\limits_{x\to{}x_0} \frac{ku(x) - ku(x_0)}{x-x_0} = k \cdot
u'(x_0);> (Faktorregel)

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten!

=item *

Ableitung eines Produkts: M<f(x) = u(x) \cdot v(x);>

M<<
{} \begin{array}{rcl}
{}   f'(x_0) &=& \lim\limits_{x\to{}x_0} \dfrac{u(x)v(x) - u(x_0)v(x_0)}{x - x_0} = \\
{}   &=& \lim\limits_{x\to{}x_0} \dfrac{u(x)v(x) - u(x_0)v(x) + u(x_0)v(x) + u(x_0)v(x_0)}{x - x_0} = \\
{}   &=& \lim\limits_{x\to{}x_0}\left[ v(x)\dfrac{u(x) - u(x_0)}{x - x_0} + u(x_0)\dfrac{v(x) - v(x_0)}{x - x_0} \right] = \\
{}   &=& u'(x_0)v(x_0) + v'(x_0)u(x_0);
{} \end{array}\\
>> (Produktregel)

Kurz: M<\left(uv\right)' = u'v + v'u;>

=back


=for timestamp
Mo Feb 14 16:43:58 CET 2005

=head4 Tangente und Normale in einem Kurvenpunkt


=for timestamp
Mi Feb 23 16:51:46 CET 2005

=head4 Die Ableitung der Sinusfunktion

=over

=item a) Im Ursprung

M<f(x) = \sin x; \quad \sin(-x) = \sin x;> ⇒ Symmetrie zum Ursprung

M<f'(0) = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0} =
\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x\to0} \varphi(x);>

M<\varphi(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{-x} = \dfrac{\sin(x)}{x} = \varphi(x);> ⇒
Symmetrie zur M<y>-Achse

Abschätzung für M<0 E<lt> x E<lt> \frac{\pi}{2}>:

Flächenvergleich:

[Abbildung: M<\sin x>, M<x> und M<\tan x> am Einheitskreis]

M<<
{} \begin{array}{rcccl}
{}   A_{\triangle OPQ} & E<lt> & A_{\sphericalangle OPQ} & E<lt> & A_{\triangle ORQ}; \\
{}   \frac{1}{2}\sin x & E<lt> & \pi r^2 \frac{x}{2\pi} & E<lt> & \frac{1}{2}\tan x; \\
{}   \sin x & E<lt> & x & E<lt> & \tan x; \\
{}   1 & E<lt> & \frac{x}{\sin x} & E<lt> & \frac{1}{\cos x}; \\
{}   1 & E<gt> & \frac{\sin x}{x} & E<gt> & \cos x;
{} \end{array}
>>

⇒ M<\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin x}{x} = 1;> (Wichtiger Grenzwert!)

Zusatz: M<\lim\limits_{x\to0} \dfrac{x}{\sin x} = 1;>

Beispiel: M<\lim\limits_{x\to0} \dfrac{2x}{\sin 3x} = \lim\limits_{x\to0} \dfrac{3x \cdot \frac{2}{3}}{\sin 3x} = \frac{2}{3};>


=for timestamp
Do Feb 24 18:00:47 CET 2005

=item b) Ableitung von M<f(x) = \sin ax> an der Stelle M<x_0>

M<x \to x_0>: M<\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \dfrac{\sin ax - \sin ax_0}{x
- x_0} = \dfrac{2\cos\frac{ac + ax_0}{2}\sin\frac{ax - ax_0}{2}}{x - x_0} =
\dfrac{2\cos\left[\frac{a}{2}\left(x +
x_0\right)\right]\sin\left[\frac{1}{2}\left(x - x_0\right)\right]}{\left(x -
x_0\right)\frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a}};>

M<f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\left\{ a \cdot \cos\left[
\frac{a}{2}\left(x - x_0\right) \right] \dfrac{\sin\left[\frac{a}{2}\left(x -
x_0\right)\right]}{\frac{a}{2}\left(x - x_0\right)} \right\} = a \cdot \cos
ax_0;>

Ergebnis: M<\left(\sin ax\right)' = a \cdot \cos ax;>

analog:   M<\left(\cos ax\right)' = -a \cdot \sin ax;>

speziell: M<\left(\sin x\right)' = \cos x; \quad \left(\cos x\right)' = -\sin
x;>

=back


=for timestamp
Mo Feb 28 19:00:50 CET 2005

=head4 Ableitung von Bewegungsgleichungen

=over

=item Momentangeschwindigkeit aus der Weg-Zeit-Gleichung

M<x(t) = \frac{1}{2}at^2;>

M<\overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t};>

M<v(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta t} =
\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{x(t_0 - \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t} =
\dot x(t_0);>

Allgemein: M<v(t) = \dot x(t) = at;>

=item Momentanbeschleunigung aus der Zeit-Geschwindigkeits-Gleichung

M<a(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta v}{\Delta t} =
\lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{v(t_0 + \Delta t) - v(t_0)}{\Delta t} =
\dot v(t_0) = \ddot x(t_0);>

⇒ M<a(t) = \dot v(t) = \ddot x(t) = \mathrm{const.};>

=back


=for timestamp
Mi Mär  2 16:26:55 CET 2005

=head4 Bestimmung von Parabelscheiteln

Der Scheitel liegt dort, wo die Tangente die Steigung M<m_t = f'(x) = 0> hat.


=for timestamp
Mo Mär  7 15:41:55 CET 2005

=head4 Monotoniebereiche -- relative Extrema

Merke: Ist M<f'(x)> im Intervall M<I = \left]a, b\right[> positiv (negativ), so
ist M<f(x)> ist M<I> streng monoton steigend (fallend).

Mögliche Kurvenverläufe:

=over

=item a)

M<f'(x_0) E<gt> 0;>

=item b)

M<f'(x_0) E<lt> 0;>

=item c)

M<f'(x_0) = 0;>

M<f'(x_0)> wechselt das Vorzeichen von M<-> nach M<+>: Rel. Minimum (TIP)

M<f'(x_0)> wechselt das Vorzeichen von M<+> nach M<->: Rel. Maximum (HOP)

M<f'(x_0)> wechselt das Vorzeichen nicht: Terassenpunkt (TEP)

Notwendige Bedingung für ein relatives Extremum an der Stelle M<x_0>: M<f'(x_0)
= 0;>

Hinreichende Bedingung für ein Extremum ist ein VZW von M<f'(x_0)>.


=for timestamp
Mi Mär  9 15:31:22 CET 2005

Alternativ: Die Ableitung von M<f> hat ein Extremum, d.h. M<f''(x_0) = 0>
(notwendige Bedingung). Hinreichend für einen TEP ist, wenn gilt: M<f''(x_0) =
0> und M<f''(x_0)> hat einen VZW.


=for timestamp
Do Mär 10 17:14:13 CET 2005

Ergänzung: Hinreichendes Kriterium für ein Extremum an der Stelle M<x_0> ist,
wenn gilt: M<f'(x_0) = 0> I<und> M<f''(x_0) \neq 0>, und zwar Minimum für
M<f''(x_0) E<gt> 0> und Maximum für M<f''(x_0) E<lt> 0>.

=back


=for timestamp
Mo Mär 14 16:22:46 CET 2005

[Stetigkeit: M<\lim\limits_{x \to x_0-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0+} =
f(x_0);>]

[Diffbarkeit an der Stelle M<x_0> ⇒ Stetigkeit an der Stelle M<x_0>]

[Grenzwert des Diffquotienten an der Stelle M<x_0> existiert ⇒ Diffbarkeit an
der Stelle M<x_0>]