=for timestamp
Mi Apr  6 14:50:15 CEST 2005

=head3 Eigenschaften von intervallweise stetigen Funktionen

=head4 Extremwertsatz

Ist M<\mathrm{f}> im I<abgeschlossenen> Intervall M<\left[a, b\right]> stetig,
so ist M<\mathrm{f}> dort I<beschränkt> und besitzt ein absolutes Maximum und
Minimum.

=head4 Zwischenwertsatz

Ist M<\mathrm{f}> im abgeschlossenen Intervall M<\left[a, b\right]> stetig und
ist M<\mathrm{f}(a) \neq \mathrm{f}(b)>, so nimmt die Funktion jeden
Zwischenwert M<y_0> zwischen M<\mathrm{f}(a)> und M<\mathrm{f}(b)> mindestens
einmal an. D.h., es gibt zu jedem M<y_0 \in \left[\mathrm{f}(a),
\mathrm{f}(b)\right]> mindestens ein M<x_0 \in \left[a, b\right]> mit
M<\mathrm{f}(x_0) = y_0>.

"Von M<\mathrm{f}> wird kein Wert zwischen M<\mathrm{f}(a)> und
M<\mathrm{f}(b)> ausgelassen."


=for timestamp
Do Apr  7 17:54:50 CEST 2005

=head4 Nullstellensatz

Ist M<\mathrm{f}> in M<\left[a, b\right]> stetig und sind die Vorzeichen von
M<\mathrm{f}(a)> und M<\mathrm{f}(b)> verschieden, so gibt es in M<\left[a,
b\right]> mindestens eine Nullstelle M<x_0> mit M<\mathrm{f}(x_0) = 0>.


=for timestamp
Mo Apr 11 18:20:32 CEST 2005

=head4 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ist M<\mathrm{f}> im I<abgeschlossenen> Intervall M<\left[a, b\right]> stetig
und im offenen Intervall M<\left]a, b\right[> diffbar, so gibt es mindestens
eine Stelle M<x_0 \in \left]a, b\right[>, für die gilt: M<\mathrm{f}'(x_0) =
\dfrac{\mathrm{f}(b) - \mathrm{f}(a)}{b - a};>

Geometrische Deutung: Es gibt in M<\left]a, b\right[> eine Stelle M<x_0>, an
der die Tangente an M<G_{\mathrm{f}}> parallel ist zur Sekante M<(a,
\mathrm{f}(a))> und M<(b, \mathrm{f}(b))>.

Anwendung zur linearen Approximation:

Sei M<I = \left[x_0, x_0 + h\right]>. Dann gilt mit M<d \in \left] 0, 1\right[>:
M<\\\mathrm{f}'(x_0 + d \cdot h) = \dfrac{\mathrm{f}(x_0 + h) -
\mathrm{f}(x_0)}{x_0 + h - x_0}; \Rightarrow \\
\mathrm{f}(x_0 + h) = \mathrm{f}(x_0) + h \cdot \mathrm{f}'(x_0 + d \cdot h);
\Rightarrow \\
\mathrm{f}(x_0 + h) \approx \mathrm{f}(x_0) + h \cdot \mathrm{f}'(x_0);>