=for timestamp
Mi Dez  1 17:23:05 CET 2004

=head3 Grenzwerte

=head4 Grenzwerte von Funktionen für M<\left|x\right| \to \infty>

Allgemein: M<f(x)> hat für M<x \to \infty> den Grenzwert M<0>, wenn
M<\left|x\right|> jede noch so kleine positive Zahl (meist stellvertretend mit
M<\varepsilon> bezeichnet) unterschreitet, wenn man nur M<x> genügen groß
macht.

M<x_s> bezeichnet man auch als "Schwellenwert".

=for timestamp
Di Dez  7 17:45:31 CET 2004

=for comment
War schon gestern

M<f(x)> hat für M<x \to -\infty> den Grenzwert M<0>, wenn es zu jedem noch so
kleinen positiven M<\varepsilon> einen Schwellenwert M<x_s> gibt, so dass I<für
alle> M<x E<lt> x_s> gilt: M<\left|f(x)\right| E<lt> \varepsilon;>

Def.: M<f(x)> hat für M<x\to\infty> (M<x\to-\infty>) den Grenzwert M<a>, wenn
es zu jedem noch so kleinen positiven M<\varepsilon> einen Schwellenwert M<x_s>
gibt, so dass für alle M<x E<gt> x_s> (M<x E<lt> x_s>) gilt: M<\left|f(x) -
a\right| E<lt> \varepsilon;>

M<\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{a}{x^n} = 0; \qquad a \in \mathds{R}; n \in
\mathds{N};>


=for timestamp
Mo Dez 13 17:23:08 CET 2004

=head4 Regeln für Grenzwerte

Sind M<f> und M<g> Funktionen mit M<\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = a> und
M<\lim\limits_{x\to\infty} g(x) = b>, dann gilt:

=over

=item 1.

M<\lim\limits_{x\to\infty}(f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x\to\infty} f(x) \pm \lim\limits_{x\to\infty} g(x) = a \pm b;>

=item 2.

M<\lim\limits_{x\to\infty}(f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x\to\infty} f(x) \cdot \lim\limits_{x\to\infty} g(x) = a \cdot b;>

=item 3.

M<\lim\limits_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to\infty} f(x)}{\lim\limits_{x\to\infty} g(x)} =
\frac{a}{b}; \qquad b \neq 0; \qquad g(x) \neq 0 \text{ f"ur "`hinreichend"'
gro"se }x;>

=back

Zusatz für Funktionen mit I<bestimmter> Divergenz:

Aus M<f(x) \to \infty> für M<x \to \infty> folgt: M<\lim\limits_{x\to\infty}
\frac{1}{f(x)} = 0;>

Analoge Sätze gelten für M<x \to -\infty>.

Es gibt drei Fälle bei gebrochen rationalen Funktionen:

=over

=item *

Zählergrad E<lt> Nennergrad ⇒ M<\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 0;>

=item *

Zählergrad = Nennergrad ⇒ M<f> ist konvergent;

=item *

Zählergrad E<gt> Nennergrad ⇒ M<f> ist divergent;

=back


=for timestamp
Mi Dez 15 17:19:42 CET 2004

=head4 Schrankenfunktion (Majoranten)

Beispiel: M<f(x) = \frac{1}{2} \cdot \sin x;>

Vermutung: M<\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 0;>

M<\left|f(x)\right| = \left|\frac{1}{x}\cdot\sin x\right| = \frac{1}{2} \cdot
\left|\sin x\right| \leq \frac{1}{x} \to 0> für M<x \to \infty;>

⇒ M<f(x) \to 0> für M<x \to \infty>; (M<\frac{1}{x}> ist Majorante für
M<\left|f(x)\right|>.)

M<f> hat für M<x \to \infty> die Asymptote M<y = g(x)>, wenn gilt:
M<\lim\limits_{x\to\infty}(f(x) - g(x)) = 0;>


=for timestamp
Mo Jan 10 17:05:58 CET 2005

=head4 Grenzwerte von Zahlenfolgen

Allgemein gilt: Die geometrische Folge M<a_\nu = a \cdot q^{\nu - 1}> ist für
M<\left|q\right| E<lt> 1> konvergent mit dem Grenzwert Null.


=for timestamp
Mi Jan 12 17:45:02 CET 2005

=head4 Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe

M<\lim\limits_{n\to\infty} s_n = \lim\limits_{n\to\infty} a\frac{q^n - 1}{q -
1} = \frac{a}{q - 1} \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\left(q^n - 1\right) =
\frac{a}{1 - q}; \qquad \text{f"ur} \left|q\right| E<lt> 1;>

Ergebnis: Für M<\left|q\right| E<lt> 1> hat die geometrische Reihe M<s_n =
\sum\limits_{\nu = 1}^n aq^{\nu - 1}> für M<n \to \infty> den Grenzwert
M<\frac{a}{1 - q}>.


=for timestamp
Do Jan 13 17:02:12 CET 2005

=head4 Grenzwert bei Funktionen für M<x \to x_0>

Def.: M<f> hat für M<x \to x_0> den Grenzwert M<a>, wenn M<f> in einer Umgebung
von M<x_0> definiert ist und wenn gilt: M<\left|f(x) - a\right| E<lt>
\varepsilon> (mit M<\varepsilon E<gt> 0>) falls nur M<x> "genügend" nahe bei
M<x_0> gewählt wird.

Schreibweise: M<\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = a;>

Methoden zur Berechnung:

=over

=item "Kürzen"

M<\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \lim\limits_{x \to 2}(x +
1) = 2 + 1 = 3;>

=item "M<h>-Methode"

Untersuchung in der "Nähe" von M<x_0> durch die Substitution M<x = x_0 \pm h>
(mit M<h E<gt> 0>).

Im Beispiel: M<\lim\limits_{x \to 2+} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} =
\lim\limits_{h\to0} \frac{4 + 4h + h^2 - 2 - h - 2}{h} = \lim\limits_{h\to0}
\frac{3h + h^2}{h} = \lim\limits_{h\to0}(3 + h) = 3 + 0 = 3;>

=back


=for timestamp
Mi Jan 19 17:17:04 CET 2005

Zusammenfassung: Beim M<\lim\limits_{x\to{}x_0} f(x)> lassen sich folgende
Fälle unterscheiden:

=over

=item M<x_0 \in D_f>

=over

=item a)

M<\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) \neq \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x);>

Grenzwert existiert nicht, Divergenz, Sprungstelle

=item b)

M<\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) = \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x) \neq f(x_0);>

Grenzwert existiert (Konvergenz), M<f> ist an der Stelle M<x_0> I<nicht
stetig>.

=item c)

M<\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) = \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x) = f(x_0);>

Grenzwert existiert, M<f> ist an der Stelle M<x_0> I<stetig>.

=back

=item M<x_0 \notin D_f>

=over

=item a)

M<\left|f(x)\right| \to \infty> für M<x \to x_0+> oder M<x \to x_0-;>

Unendlichkeitsstelle (mit bzw. ohne VZW), Divergenz

=item b)

M<\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) = \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x);>

Konvergenz, "Lochstelle" (stetig ergänzbare Definitionslücke)

=item c)

M<\lim\limits_{x\to{}x_0-} f(x) \neq \lim\limits_{x\to{}x_0+} f(x);> (aber
beide Grenzwerte endlich)

Divergenz, gelochte Sprungstelle

=back

=back


=for timestamp
Sa Jan 22 14:04:39 CET 2005

=for comment
Schon letzten Do

Ergänzungen:

=over

=item *

Eine Funktion M<f> ist an der Stelle M<x_0 \in D_f> I<stetig>, wenn gilt:

M<\lim\limits_{x\to{}x_0-} = \lim\limits_{x\to{}x_0+} = f(x_0);>

=item *

Für die Grenzwerte M<x \to x_0> gelten die bekannten Grenzwertsätze in analoger
Weise.

=back