=head4 Lineare Funktionen: M<< f\left(x\right) = mx + t >> =over =item M: Steigung =item M: M-Abschnitt =back Beispiel: M<< f\left(x\right) = \frac{1}{2}x - 2 >> =helper MyBook::Helper::Gnuplot set grid set xrange [ -1 : 5 ] set yrange [ -3 : 1 ] plot 1/2.*x - 2 t 'f(x) = 1/2x - 2', \ -2.*x + 1 t 'g(x) = -2x + 1' =hend =over =item M: M<< m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \tan \alpha >> =item Nullstellen: M<< f\left(x\right) = 0 \Longrightarrow x = 4 \Longrightarrow N\left(4; 0\right) >> =item Schnittpunkt mit M-Achse: M<< T\left(0; -2\right) >> =back Aufgabe: Schnittpunkts- und Winkelberechnung zwischen M und M<< g\left(x\right) = -2x + 1 >> =over =item Schnittpunkt: M<< f\left(x\right) = g\left(x\right) \Longrightarrow x = \frac{6}{5} >> =item Winkel: M<< {} \tan \left( \arctan m_g - \arctan m_f \right) = {} \tan -\frac{\pi}{2} = {} \text{undefiniert} >> ⇒ M steht senkrecht auf M (auch wegen M<< m_g = -\frac{1}{m_f} >>). =for comment M<< {} \left. {} \begin{array}{l} {} m = \frac{\Delta y}{\Delta x}; \\ {} \left(\Delta x_f\right)^2 + \left(\Delta y_f\right)^2 = \left(\Delta x\right)^2; {} \Longrightarrow \Delta x = {} \sqrt{ \left(\Delta x_f\right)^2 + \left(\Delta y_f\right)^2 }; \\ {} \left(\Delta y_g\right)^2 + \left(-\Delta x_g\right)^2 = \left(\Delta y\right)^2; {} \Longrightarrow \Delta y = {} \sqrt{ \left(\Delta y_g\right)^2 + \left(\Delta x_g\right)^2 }; \\ {} \end{array} {} \right\} >> =back =head4 Senkrechte Geraden =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 1 0.0000 1755 2835 1552 1552 1755 2835 405 3600 1 3 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 1 0.0000 1755 2835 765 765 1755 2835 1755 3600 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 900 450 900 4050 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 -900 3600 4500 3600 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 -450 4050 4500 1350 2 3 0 1 0 7 50 -1 15 0.000 0 0 -1 0 0 4 360 3600 1755 3600 1755 2835 360 3600 2 3 0 1 0 7 50 -1 15 0.000 0 0 -1 0 0 4 1710 2835 2520 2835 2520 4365 1710 2835 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 405 450 2828 4930 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 4500 1575 g\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 120 1530 2880 S\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 120 180 1080 3780 ^x\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 195 1800 3330 ^y\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 120 180 2655 3600 ^x\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 195 2070 2790 ^y\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 2790 4725 h\001 =hend M<< {} m_g = \frac{ \Delta y }{ \Delta x } \\ {} m_h = -\frac{ \Delta x }{ \Delta y } \\ >> =over ⇒ M<< m_g \cdot{} m_h = -1 >> (Kennzeichen für senkrechte Geraden) =back =head4 Geradenscharen Beispiel: M<< g_k: x + y - k = 0; k \in \mathds{R}; \Longrightarrow y = -x + k; >> (Parallelenschar) =helper MyBook::Helper::Gnuplot set grid set xrange [ -2 : 2 ] set yrange [ -2 : 2 ] plot -x-2 t 'g_-2', \ -x-1 t 'g_-1', \ -x-0 t 'g_0', \ -x+1 t 'g_1', \ -x+2 t 'g_2' =hend Zusatzaufgabe zur 2. Hausaufgabe: Nimmt der Flächeninhalt M beliebige Werte aus M<\mathds{R}_0^+> an? Untersuchung für M: M<< A\left(t\right) = \frac{t^2 + 1}{t}, t \neq 0; >> Untersuchung der Wertemenge von M: Gibt es zu jedem Wert M einen M-Wert? M<< {} A = \frac{t^2 + 1}{t}; \Longrightarrow 0 = t^2 - 2At + 1; \Longrightarrow t = \frac{2A \pm 2\sqrt{A^2 - 1}}{2} = A \pm \sqrt{A^2 - 1}; >> M<< A^2 - 1 \geq 0; \Longrightarrow A \geq 1; \Longrightarrow \mathds{W}_A = \left[1; \infty\right[ >> ⇒ Bei M : M ⇒ Neigungswinkel M<45^\circ>; =for timestamp Mi Sep 29 15:07:53 CEST 2004 =head4 Stückweise lineare Funktionen Die Betragsfunktion M Graph: =helper MyBook::Helper::Gnuplot set grid set xlabel "x" set ylabel "y" plot abs(x) t '|x|', abs(x + 2) t '|x + 2|' =hend Abwandlungen: =over =item 1. M<< f\left(x\right) = \left|x + 2\right| = \begin{cases}-\left(x+2\right)&\text{f"ur }x \leq -2;\\x + 2&\text{f"ur }x > 2;\end{cases} >> =back =head4 Die Signum-Funktion M 0; \\0 & \text{wenn } x = 0; \\ -1 & \text{wenn } x E 0;\end{cases}> Zusammenhang: M, M