=for timestamp
Di Okt 19 16:06:57 CEST 2004

=head3 Umkehrfunktion

Ziel: Abbildung rückgänig machen, d.h.: M<f^{-1}\Bigl( f(x) \Bigr) = x;>

M<x \in \mathds{D}_f \stackrel{f}{\longrightarrow} y \in \mathds{W}_f =
\mathds{D}_{f^{-1}} \stackrel{f^{-1}}{\longrightarrow} x \in \mathds{D}_f =
\mathds{W}_{f^{-1}};>

Schritte:

=over

=item 1.

Auflösen nach M<x>

=item 2.

Vertauschen von M<x> mit M<y>

=back

M<G_f> und M<G_{f^{-1}}> sind spiegelbildlich bezüglich der Geraden M<y = x>.

M<f> ist I<umkehrbar>.


=for timestamp
Di Okt 19 20:06:16 CEST 2004

=for comment
Also das wurde am Dienstag geschrieben (aber me krank), das darüber am Montag.

=head4 Umkehrung einer quadratischen Funktion

Beispiel: M<f(x) = \left(x - 3\right)^2 - 2; \mathds{D}_f = \mathds{R};
\mathds{W}_f = \left[ -2; \infty \right[;>

Auflösen nach M<x>: M<x = 3 \pm \sqrt{ y + 2 };>

⇒ M<f> ist nicht umkehrbar.

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

set grid
set xrange [ -3 : 10 ]
set yrange [ -3 :  7 ]

plot (x - 3.)**2 - 2.   t 'f(x)'    w l lt 1, \
     3. + sqrt( x + 2.) t 'f^-1(x)' w l lt 2, \
     3. - sqrt( x + 2.) t ''        w l lt 2

=hend


Monotoniekriterium für Umkehrbarkeit:

=over

Eine Funktion ist dann umkehrbar, wenn sie streng monoton ist.

=back


Zerlegung von M<f> in zwei streng monotone Teile:

=over

=item *

M<<
{} f_1(x) = \left(x - 3\right)^2 - 2; \\
{} \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 3 \right]; \\
{} \mathds{W}_{f_1} = \left[ -2; \infty \right[;
>>

=item *

M<<
{} f_2(x) = \left(x - 3\right)^2 - 2; \\
{} \mathds{D}_{f_2} = \left] 3; \infty \right]; \\
{} \mathds{W}_{f_2} = \left] -2; \infty \right[;
>>

=back

Umkehrung: M<y = 3 \pm \sqrt{ 2 + x };>

=over

=item *

M<<
{} f_1^{-1}(x) = 3 - \sqrt{x + 2}; \\
{} \mathds{D}_{f_1^{-1}} = \mathds{W}_{f_1} = \left[ -2; \infty \right[; \\
{} \mathds{W}_{f_1^{-1}} = \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 3 \right];
>>

=item *

M<<
{} f_2^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x + 2}; \\
{} \mathds{D}_{f_2^{-1}} = \mathds{W}_{f_2} = \left] -2; \infty \right[; \\
{} \mathds{W}_{f_2^{-1}} = \mathds{D}_{f_2} = \left] 3; \infty \right];
>>

=back