=for timestamp
Do Okt 14 18:36:14 CEST 2004

=head2 Tests

=head3 1. Extemporale aus der Mathematik

Geschrieben am 12.10.2004.

Ein Wagen hat zur Zeit M<t = 0> die Geschwindigkeit M<v_0 = 4,\!8
\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}>. Er wird zunächst M<4,\!0\mathrm{s}> lang mit
M<a_1 = 0,\!60 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}> beschleunigt, anschließend
erfolgt eine ebenfalls M<4,\!0\mathrm{s}> lange Abbremsung mit M<a_2 = -1,\!6
\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}>.

=over

=item a)

Berechne die Geschwindigkeit des Wagens nach M<4\mathrm{s}> und nach
M<8\mathrm{s}>.

M<v_1 = v(4\mathrm{s}) = v_0 + a_1t_1 - 4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} +
0,\!6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 4\mathrm{s} =
8,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>

M<v_2 = v(8\mathrm{s}) = v_1 + a_2t_2 = 7,\!2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} -
1,\!6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 4\mathrm{s} =
0,80\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>

=item b)

Welchen Weg M<x_1> legt der Wagen in den ersten M<4> Sekunden, welchen Weg
M<x_{14}> I<allein in der 4. Sekunde> zurück?

M<x_1 = v_0t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 = 4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot
4\mathrm{s} + 0,\!3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 16\mathrm{s}^2 =
24\mathrm{m};>

M<x(3\mathrm{s}) = v_0\cdot3\mathrm{s} +
\frac{1}{2}a_1\cdot\left(3\mathrm{s}\right)^2 = 4,\!8\cdot3\mathrm{m} +
0,\!3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 9\mathrm{s}^2 = 17,\!1m;>

⇒ M<x_{14} = x_1 - x(3\mathrm{s}) = 6,\!9m;>

=item c)

Berechne die mittlere Geschwindigkeit M<\overline{v}> des Wagens für die
M<8\mathrm{s}> lange Fahrt.

M<x_2 = v_1\cdot{}t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 =
7,\!2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot 4\mathrm{s} -
0,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} + 16\mathrm{s}^2 = 16\mathrm{m};>

M<\overline{v} = \frac{x_1 + x_2}{t_1 + t_2} =
\frac{40\mathrm{m}}{8\mathrm{s}} = 5,\!0\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>

=item d)

Welche Geschwindigkeit hat der Wagen erreicht, wenn er M<12\mathrm{m}>
zurückgelegt hat? Wie lange hat er dafür gebraucht?

M<v^2 - v_0^2 = 2a_1x; \Longrightarrow v^2 = 2a_1x + v_0^2 =
1,\!2\mathrm{s}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 12\mathrm{m} +
\left(4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2; \Longrightarrow v =
6,\!\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>

M<a_1 = \frac{\Delta v}{\Delta t}; \Longrightarrow \Delta t = \frac{\Delta
v}{a_1} = \frac{6,\!\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} -
4,\!8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{0,60\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} =
2,\!2\mathrm{s};>

=back

Ansätze stets mit Formeln, Formeln zunächst allgemein auflösen!