=for timestamp
Mo Mai  8 21:43:28 CEST 2006

=head2 Die Exponentialfunktion

=head3 Einführende Beispiele

[...]

Allgemeine Struktur der auftretenden Gleichungen:

M<\mathrm{f}(x) = \mathrm{f}(x_0) + \mathrm{f}(x_0) k \left(x - x_0\right);
\quad x \geq x_0;> mit einer Funktion M<\mathrm{f}{:}\, \mathds{R} \to
\mathds{R};>

Bemerkungen:

=over

=item *

Wird der Zins dem Kapital zugeschlagen, gilt die angegebene Gleichung nur bis
zum Zeitpunkt M<t_Z> des Zuschlags. Für M<t E<gt> t_Z> muss M<K(t_0)> durch
M<K(t_Z)> ersetzt werden.

Für je zwei geeignete Zeitpunkte M<t_1> und M<t_2> mit M<t_1 E<lt> t_2> gilt
also:

M<K(t_2) = K(t_1) + K(t_1) k \left(t_2 - t_1\right);>


=for timestamp
Mi Mai 10 19:15:22 CEST 2006

=over

[Einschub:]

M<\mathrm{f}'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}(x) -
\mathrm{f}(x_0)}{x - x_0};>

M<\mathrm{f}'(x_0) \approx \frac{\mathrm{f}(x) - \mathrm{f}(x_0)}{x - x_0};>

M<\mathrm{f}'(x_0) \cdot \left(x - x_0\right) \approx \mathrm{f}(x) -
\mathrm{f}(x_0);>

M<\mathrm{f}'(x_0) \cdot x -\mathrm{f}'(x_0) \cdot x_0 \approx \mathrm{f}(x) -
\mathrm{f}(x_0);>

M<\mathrm{f}(x) \approx \underbrace{\mathrm{f}(x_0) + \mathrm{f}'(x_0) x -
\mathrm{f}'(x_0) x_0}_{\mathrm{t}(x)};>

M<\mathrm{f}(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{\mathrm{f}^{(k)}(x_0) \cdot
\left(x - x_0\right)^{(k)}}{k!};> (Taylorreihe, [Lagrangereihe bei negativen
M<k>])

=back

=item *

Auch in den restlichen Beispielen gilt die jeweilige Gleichung für M<t = t_0 +
\Delta t> bzw. M<x = x_0 + \Delta x> nur für entsprechend kleine M<\Delta t>
bzw. M<\Delta x>. Beim radioaktiven Zerfell etwa muss nach einer Zeitdauer
M<\Delta t \ll \text{Zerfallsdauer}> die Zahl der nicht zerfallenen Atome
aktualisiert werden.

=item *

Überträgt man obige Überlegung auf M<\mathrm{f}>, ergibt sich für beliebige
M<x_1>, M<x_2> unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit

M<\mathrm{f}(x_2) = \mathrm{f}(x_1) + k \mathrm{f}(x_1) \cdot \left(x_2 -
x_1\right);>

M<\lim\limits_{x_2 \to x_1} \frac{\mathrm{f}(x_2) - \mathrm{f}(x_1)}{x_2 -
x_1} = \lim\limits_{x_2 \to x_1} k \mathrm{f}(x_1) = k \mathrm{f}(x_1);>

=back


=for timestamp
Fr Mai 12 14:26:12 CEST 2006

=head3 Wie sieht der Funktionsterm von M<\mathrm{f}> aus?

Zurück: M<k = 1;>

M<\mathrm{f}'(x) = \mathrm{f}(x);>

Geometrische Bedeutung: Steigung und Funktionswert an einer Stelle sind gleich.

M<\mathrm{f}(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty a_k x^k = a_0 + \sum\limits_{k =
1}^\infty a_k x^k;>

M<\mathrm{f}'(x) = 0 + \sum\limits_{k = 1}^\infty a_k k x^{k-1} =
\sum\limits_{j = 0}^\infty a_{j+1} \left(j + 1\right) x^j;>

M<\mathrm{f}(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{2 \cdot 3} + \frac{x^4}{2
\cdot 3 \cdot 4} + \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots =
\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!};>

M<\mathrm{f}(x) E<gt> 0> für alle M<x \in \mathds{R};>

M<\mathrm{f}'(x) = \mathrm{f}(x);>

M<\mathrm{f}(0) = 1 = \mathrm{f}'(0);>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 12 May 2006 14:33:02 CEST.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -3.000000 : 3.000000 ]
set yrange [ -0.001000 : 6.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = exp(x)

# Plotting
plot func0(x) t "f" w l lt 1

=hend

M<\mathrm{f}(x)> lässt sich auch in der Form M<e^x> schreiben, also das
Exponentialfunktion mit M<e = \lim\limits_{\left|x\right| \to \infty} \left(1 +
\frac{1}{x}\right)^x> (EULERsche Zahl, M<\approx 2{,}7>).

M<\mathrm{f}{:}\, \mathds{R} \to \mathds{R}^+, \quad x \mapsto e^x> (natürliche
Exponentialfunktion)

Auch M<\varphi(x) = a e^x>, M<a \neq 0> erfüllt die Bedingungen.

M<\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty>

M<\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0;> (M<x>-Achse ist Asymptote für M<x \to
-\infty>)

M<k \in \mathds{R} \setminus \left\{ 0 \right\};>

M<\mathrm{f}_k(x) = a e^{k x};>

M<\mathrm{f}_k'(x) = a e^{k x} \left(k x\right)' = k a e^{k x} = k
\mathrm{f}_k(x);>

Rechengesetze für Potenzen vgl. B. S. 77.


=for timestamp
Fr Mai 19 13:38:22 CEST 2006

=for comment
Schon am Mi, den 17.5.2006.

=head3 Ableitung beliebiger Exponentialfunktionen

M<\mathrm{g}(x) = b^x; \quad b E<gt> 0; x \in \mathds{R};>

M<\mathrm{g}(x) = \left(e^{\ln b}\right)^x = e^{x \cdot \ln b};>

M<\mathrm{g}'(x) = x^{x \cdot \ln b} \cdot \ln b = \left(e^{\ln b}\right)^x
\cdot \ln b = b^x \cdot \ln b;>