=for timestamp
Mo Mai 29 16:44:13 CEST 2006

=head2 Funktion und Umkehrfunktion

Eine Funktion M<\mathrm{f}{:}\, A \to B> ordnet jedem M<x \in A>
(I<Definitionsmenge>) I<genau> einen Wert M<y \in B> (Zielbereich) zu; man
schreibt dafür M<y = \mathrm{f}(x)> und nennt M<\mathrm{f}(x)> den
Funktionsterm von M<\mathrm{f}> für das Argument (die Variable) M<x>.

Ist jedes M<y \in B> auch Funktionswert von M<\mathrm{f}>, so heißt
M<\mathrm{f}> surjektiv.

Folgt für alle M<x_1, x_2 \in A> mit M<x_1 \neq x_2>, dass M<\mathrm{f}(x_1)
\neq \mathrm{f}(x_2)>, so heißt M<\mathrm{f}> injektiv.

Die Menge aller Funktionswerte von M<\mathrm{f}> heißt I<Wertemenge> von
M<\mathrm{f}>.

Die Umkehrfunktion von M<\mathrm{f}> I<soll> jedem Element aus M<B> "sein"
(genau ein) Element aus M<A> zuordnen. Dazu muss M<\mathrm{f}>
bijektivN<injektiv und surjektiv> sein.

M<\mathrm{f}{:}\, A \leftrightarrow B \,{:}\mathrm{f}^{-1};>

Für alle M<a \in A> gilt: M<\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{f}(a)) = a;> M<\\>
Für alle M<b \in B> gilt: M<\mathrm{f}(\mathrm{f}^{-1}(b)) = b;>

=head3 Speziell [bei der Exponentialfunktion]

M<\mathrm{f}{:}\, \mathds{R} \to \mathds{R}^+, \quad x \mapsto e^x;>

M<\mathrm{f}> ist echt monoton steigend auf der Definitionsmenge, also
injektiv.

=for timestamp
Mi Mai 31 16:22:58 CEST 2006

"Mathematik ist wie ein Brennspiegel, die nur betrachtet, was eh schon da ist"

"Da ist die alte Frage, mit wem sprech' ich denn, wenn ich mit spreche...? Und
wer bin ich wirklich...?"

Für jedes M<y \in \mathds{R}^+> gibt es ein M<x \in \mathds{R}> mit
M<\mathrm{f}(x) = e^x = y>. Also ist M<\mathrm{f}> surjektiv.

⇒ M<\mathrm{f}> ist umkehrbar. Umkehrfunktion M<\mathrm{f}^{-1}> von
M<\mathrm{f}>:

M<\mathrm{f}^{-1}{:}\, \mathds{R}^+ \to \mathds{R}, \quad y = e^x \mapsto x =
\ln y;>

Trägt man auch die Argumentwerte von M<\mathrm{f}^{-1}> auf der Rechtswertachse
und die Funktionswerte von M<\mathrm{f}^{-1}> auf der Hochwertachse auf
(Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten), ergibt sich
der Graph von M<\mathrm{f}^{-1}>.

M<\mathrm{f}^{-1}{:}\, \mathds{R}^+ \to \mathds{R}, \quad x \mapsto \ln x;>

=head3 Zusammenhang zwischen der Ableitung von M<\mathrm{f}> und
M<\mathrm{f}^{-1}> an sich entsprechenden Stellen

M<\left(\mathrm{f}^{-1}\right)'(x_0) =
\frac{1}{\mathrm{f}'(\mathrm{f}^{-1}(x))} \stackrel{\text{speziell}}{=}
\frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{f}^{-1}(x_0))} = \frac{1}{x_0};>

Kurz: M<\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x};>

Folgerungen:

=over

=item *

1. Fall: M<x E<gt> 0>: M<\int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \ln x + C = \ln
\left|x\right| + C; \quad C \in \mathds{R};>

=item *

2. Fall: M<x E<lt> 0>: M<\int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \ln -x + C = \ln
\left|x\right| + C; \quad C \in \mathds{R};>

=back

M<\int \frac{1}{x} \,\mathrm{d}x = \ln \left|x\right| + C; \quad C \in
\mathds{R};>