=for timestamp
Mi Sep 21 17:35:43 CEST 2005

=head0 Mathematik

=head1 Analysis

=head2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

=head3 Stetigkeit

M<\mathrm{f}> stetig in M<x_0;> ⇔ M<\lim\limits_{x \to x_0} \mathrm{f}(x) =
\mathrm{f}(x_0);>N<Grenzwert von links und von rechts, wenn möglich>

=head3 Differenzierbarkeit

M<\mathrm{f}> ist diffbar an der Stelle M<x_0;> ⇔ M<\lim\limits_{x \to x_0}
\frac{\mathrm{f}(x) - \mathrm{f}(x_0)}{x - x_0}> existiert;

Dieser Grenzwert heißt Ableitung von M<\mathrm{f}> an der Stelle M<x_0> und
wird mit M<\mathrm{f}'(x_0)> bezeichnet.

(Ist M<x_0> Randpunkt von M<D_{\mathrm{f}}>, so sind die Grenzwerte
einseitige.)

=head3 Satz des Hausmeisters

M<\mathrm{f}> ist diffbar auf M<\left]a, b\right[>, stetig auf M<\left]a,
b\right]> und M<\lim\limits_{x \to b-} \mathrm{f}'(x)> existiert.

⇒ M<\mathrm{f}> ist an der Stelle M<b> von links diffbar, und es gilt:

M<\mathrm{f}'_{\text{l}}(b) = \lim\limits_{x \to b-} \mathrm{f}'(x);>

Bemerkungen:

=over

=item *

Eine entsprechende Aussage gilt für die rechtsseitige Diffbarkeit.

=item *

M<\mathrm{f}> ist an der Stelle M<x_0> diffbar genau dann, wenn gilt:

M<\mathrm{f}'_{\text{l}}(x_0) = \mathrm{f}'_{\text{r}}(x_0);>

=back

=head3 Beispiel

Betrachtet werden die Funktionen M<\mathrm{f}> und M<\mathrm{g}> mit

M<D_{\mathrm{f}} = \left]a, b\right]; \quad>
M<D_{\mathrm{g}} = \left]b, c\right[;>

und die Funktion M<\mathrm{h}> mit

M<< \mathrm{h}(x) = \begin{cases}
{} \mathrm{f}(x) & \text{f"ur } x \in \left]a, b\right]; \\
{} \mathrm{g}(x) & \text{f"ur } x \in \left]b, c\right[;
\end{cases} >>

d.h. M<D_{\mathrm{h}} = \left]a, c\right[;>

M<\mathrm{f}> und M<\mathrm{g}> besitzen die Stammfunktionen M<\mathrm{F}> und
M<\mathrm{G}>.

Beschreibe eine Vorgehensweise, um herauszufinden, ob M<\mathrm{h}> eine
Stammfunktion besitzt und gib gegebenfalls eine an.

=begin comment

Lösungsvorschlag:

M<< \int \mathrm{h}(x) = \mathrm{H}_C(x) = \begin{cases}
{} \mathrm{F}(x) + d + C & \text{f"ur } x \in \left]a, b\right[; \\
{} \mathrm{F}(x) + d + C & \text{f"ur } x = b; \\
{} \mathrm{G}(x)     + C & \text{f"ur } x \in \left]b, c\right[;
\end{cases} >>

M<\mathrm{h}> in M<D_{\mathrm{h}}> muss stetig sein, sonst gibt es keine
Stammfunktionen.

Zusätzlich muss M<\mathrm{F}(x) + d = \lim\limits_{x \to b+} \mathrm{G}(x)>
gelten (M<\mathrm{d}> konstant).

=end comment

Vorläufiges M<\mathrm{H}>:

M<< \mathrm{H}(x) = \begin{cases}
{} \mathrm{F}(x) & \text{f"ur } x E<lt> b; \\
{} \mathrm{G}(x) & \text{f"ur } x E<gt> b;
\end{cases} >>

M<\lim\limits_{x \to b} \mathrm{H}(x) = \mathrm{H}(b);>

M<\lim\limits_{x \to b-} \mathrm{H}(x) = \lim\limits_{x \to b-} \mathrm{F}(x);>

M<\lim\limits_{x \to b+} \mathrm{H}(x) = \lim\limits_{x \to b+} \mathrm{G}(x);>

=over

=item 1.

Fall: Einer der Grenzwerte existiert nicht.

=item 2.

Fall: Beide Grenzwerte existieren und stimmen überein.

Diesen Grenzwerte nehmen wir als M<\mathrm{H}(b)>.

=item 3.

Fall: Beide Grenzwerte existieren -- etwa M<\varphi> und M<\gamma> --, aber
stimmen nicht überein.

Wir verwerfen das alte M<\mathrm{H}(x)> und nehmen

M<< \mathrm{H}(x) = \begin{cases}
{} \mathrm{F}(x)                    & \text{f"ur } x E<lt> b; \\
{} \varphi                          & \text{f"ur } x = b; \\
{} \underbrace{\mathrm{G}(x) + \varphi - \gamma}_{\text{Neues } \mathrm{G}(x)} & \text{f"ur } x E<gt> b; \\
\end{cases} >>

=back

Überprüfung auf Differenzierbarkeit an der Stelle M<b>:

=over

=item 1.

Methode: Grenzwert des Differenzenquotienten

M<\lim\limits_{x \to b-} \frac{\mathrm{H}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b} =
\lim\limits_{x \to b-} \frac{\mathrm{F}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b};>

M<\lim\limits_{x \to b+} \frac{\mathrm{H}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b} =
\lim\limits_{x \to b+} \frac{\mathrm{G}(x) - \mathrm{H}(b)}{x - b};>

Stimmen diese Grenzwerte überein, ist M<\mathrm{H}> Stammfunktion von
M<\mathrm{h}>, andernfalls nicht.

=item 2.

Methode: Satz des Hausmeisters

Nach Konstruktion ist M<\mathrm{H}> stetig an der Stelle M<b>.

M<\lim\limits_{x \to b-} \mathrm{F}'(x) = \lim\limits_{x \to b-}
\mathrm{f}(x);>

M<\lim\limits_{x \to b+} \mathrm{G}'(x) = \lim\limits_{x \to b+}
\mathrm{g}(x);>

Wenn die beiden Grenzwerte existieren und gleich sind, ist M<\mathrm{H}(x)>
diffbar. Wenn ferner M<\mathrm{H}'(b) = \mathrm{f}(b)> gilt, ist M<\mathrm{H}>
eine Stammfunktion von M<\mathrm{h}>.

=back