=for timestamp
Di Feb  7 18:13:37 CET 2006

=head1 Geometrie

=head2 Geraden

=head3 Ursprungsgeraden in der M<x_1>--M<x_2>-Ebene

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2790 1305 18 18 2790 1305 2808 1305
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 900 450 900 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 450 2250 3600 2250
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 450 2475 3600 900
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1800 2700 3150 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 2205 2700 2205 2655
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 2745 2700 2745 2655
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2745 2565 2790 1440
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2115 2610 990 2340
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 2070 1845 g\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 990 2835 1485 P(p_1, p_2)\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 90 2475 2655 k\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 2160 2880 0\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 2700 2880 1\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 300 3645 2295 x_1\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 300 765 405 x_2\001

=hend

Liegt M<Q(q_1, q_2)> auf M<g>?

M<Q(q_1, q_2) \in g> ⇔ Es gibt eine Zahl M<k \in \mathds{R}>, so dass gilt:

M<q_1 = k p_1 \wedge q_2 = k p_2;>

Anders geschrieben:

M<\begin{pmatrix}q_1 \\ q_2\end{pmatrix} = k \begin{pmatrix}p_1 \\
p_2\end{pmatrix}\!;>

Darstellung von M<g>:

M<g = \left\{ Q(q_1,q_2) \middle| \begin{pmatrix}q_1\\q_2\end{pmatrix} =
k \begin{pmatrix}p_1\\p_2\end{pmatrix} \text{mit }k \in \mathds{R}
\right\}\!;>


=for timestamp
Mi Feb  8 16:38:57 CET 2006

=head3 Ursprungsgeraden im Raum

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2790 1305 18 18 2790 1305 2808 1305
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 900 450 900 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 450 2250 3600 2250
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 450 2475 3600 900
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 450 2700 2700 450
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 2070 1845 g\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1425 2835 1485 P(p_1, p_2, p_3)\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 300 3645 2295 x_2\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 300 765 405 x_3\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 300 315 2880 x_1\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1140 2475 2700 Rechtssystem\001

=hend

M<g = \left\{ Q(q_1,q_2,q_3) \middle| \begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix} =
k \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} \text{mit }k \in \mathds{R} \wedge
p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 \neq 0 \right\}\!;>


=for timestamp
Sa Feb 11 18:32:08 CET 2006

=head3 Beliebige Geraden in der M<x_1>--M<x_2>-Ebene

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2790 270 18 18 2790 270 2808 270
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1170 1080 18 18 1170 1080 1188 1080
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 630 3060 18 18 630 3060 648 3060
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2250 2250 18 18 2250 2250 2268 2250
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 450 2250 3600 2250
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 450 1440 3600 -135
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2250 -90 2250 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 468 3141 3618 1566
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 2790 270 2250 2250
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1170 1080 630 3060
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 300 3645 2295 x_1\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1005 1215 1260 A(a_1, a_2)\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 990 2880 450 B(b_1, b_2)\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 2970 2070 p\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 1710 630 g\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 990 720 3240 P(p_1, p_2)\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 300 2115 -135 x_2\001

=hend

Abbildung: M<\\>
M<g \to p> M<\\>
M<B \mapsto 0> M<\\>
M<A \mapsto P>

Welche Koordinaten hat M<P>?

M<p_1 = a_1 - b_1;> M<\\>
M<p_2 = a_2 - b_2;>


=for timestamp
Mo Feb 20 17:14:26 CET 2006

M<p = \left\{ Q(q_1, q_2) \middle| \begin{pmatrix}q_1\\q_2\end{pmatrix} = k
\begin{pmatrix}a_1 - b_1\\a_2 - b_2\end{pmatrix} \text{mit } k \in \mathds{R}
\right\}\!;>

M<g = \left\{ R(r_1, r_2) \middle| \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix} = k
\begin{pmatrix}a_1 - b_1\\a_2 - b_2\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} + k
\begin{pmatrix}a_1 - b_1\\a_2 - b_2\end{pmatrix} \text{mit } k \in \mathds{R}
\right\}\!;>

[Verschiedene Sichten: Die Sicht vor dem letzten Gleichheitszeichen stellt man
sich durch eine Verschiebung jedes Punkten der Ursprungsgeraden vor. Das
Ergebnis der Verschiebung ist dann die resultierende Gerade. Die Sicht nach dem
letzten Gleichheitszeichen ist die bevorzugte Sicht. Bei ihr stellt man sich
vor, dass man vom Ursprung ausgehend zum Aufpunkt (M<B>) geht und dann von dort
aus jeweils das M<k>-fache des Richtungsvektors
M<\left(\!\begin{smallmatrix}a_1 - b_1\\a_2 - b_2\end{smallmatrix}\!\right)>
aufträgt.]

Ein Zahlenpaar M<\left(\!\begin{smallmatrix}e\\f\end{smallmatrix}\!\right)>
kann durch Pfeile veranschaulicht werden, deren M<x_1>-Koordinate M<e> und
deren M<x_2>-Koordinate M<f> ist.

Diese Pfeile sind alle parallel, gleich gerichtet und gleich lang zum Pfeil
M<\overrightarrow{0W}> mit M<W(e, f)>.


=for timestamp
Di Feb 21 17:48:40 CET 2006

(Diese Eigenschaft nennt man Parallelgleichheit.)

Die Menge aller parallelgleichen Pfeile heißt Pfeilvektor.
Jedes Element, d.h. jeder Pfeil, dieser Menge heißt Repräsentant dieser Menge.

Bezeichnungen: M<\vec a = \overrightarrow{PQ} =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\-3\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}q_1 - p_1\\q_2 - p_2\end{smallmatrix}\!\right)
\equiv \left(\!\begin{smallmatrix}q_1\\q_2\end{smallmatrix}\!\right) -
\left(\!\begin{smallmatrix}p_1\\p_2\end{smallmatrix}\!\right) =
\overrightarrow{0Q} - \overrightarrow{0P} \equiv \vec Q - \vec P>

M<PQ = \left\{ X(x_1, x_2) \middle|
\left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\end{smallmatrix}\!\right) = \vec P + k
\overrightarrow{PQ} \text{ mit } k \in \mathds{R} \right\}\!;>

Kürzer: M<PQ{:}\, \vec X = \vec P + k \overrightarrow{PQ}; \quad> (M<k \in
\mathds{R}>)


=for timestamp
Mi Feb 22 18:44:32 CET 2006

=head3 Möglichkeiten der gegenseitigen Lage zweier Geraden M<g> und M<h> in der Ebene

M<g{:}\, \vec X = \vec A + k \vec u; \quad k \in \mathds{R};> M<\\>
M<h{:}\, \vec X = \vec B + l \vec v; \quad l \in \mathds{R};>

=over

=item *

M<g> und M<h> schneiden sich (in einem Punkt).

⇔ Es gibt kein M<r \in \mathds{R}>, so dass M<\vec u = r \vec v>, d.h. M<\vec
u> und M<\vec v> sind keine Vielfache voneinander. (M<\vec u> und M<\vec v>
heißen dann nicht kollinear, d.h. die Repräsentanten von M<\vec u> sind nicht
parallel zu den Repräsentanten von M<\vec v>.)

Bestimmung des Schnittspunkts: Der Schnittpunkt erfüllt sowohl die Gleichung
von M<g> (für ein bestimmtes M<k>) als auch die Gleichung von M<h> (für
ein bestimmtes M<l>).

M<\left.\begin{array}{@{}l}
{} \vec S = \vec A + k_S \vec u; \\
{} \vec S = \vec B + l_S \vec v;
\end{array}\right\}\Rightarrow
{} \vec A + k_S \vec u = \vec B + l_s \vec v;>

=item *

M<g> und M<h> sind parallel [⇔ die Richtungsvektoren sind kollinear].

=over

=item *

M<g> und M<h> sind identisch [⇔ der Verbindungsvektor ist kollinear zu den
Richtungsvektoren].

=item *

M<g> und M<h> sind echt parallel [⇔ der Verbindungsvektor ist nicht kollinear
zu den Richtungsvektoren].

=back

=back


=for timestamp
Di Mär  7 18:10:55 CET 2006

=head3 Beliebige Geraden im Raum

M<g{:}\, \vec X = \vec A + k \overrightarrow{AB}; \quad k \in \mathds{R};>

=head3 Möglichkeiten der gegenseitigen Lage zweier Geraden M<g> und M<h> im
Raum

M<g{:}\, \vec X = \vec A + k \vec u; \quad k \in \mathds{R};> M<\\>
M<h{:}\, \vec X = \vec B + l \vec v; \quad l \in \mathds{R};>

=over

=item *

M<g> und M<h> sind parallel. ⇔ M<\vec u> und M<\vec v> sind kollinear.

Wenn M<g> und M<h> parallel sind, gilt:

M<A \in h> ⇔ M<g> und M<h> identisch ⇔ M<\overrightarrow{AB}> und M<\vec u>
[oder M<\vec v>] kollinear

=item *

(Wenn M<g> und M<h> nicht parallel sind, gilt:)

M<g> und M<h> schneiden sich ⇔ die Gleichung M<\vec A + k \vec u = \vec B + l
\vec v> hat für M<k> und M<l> genau eine Lösung, d.h. es gibt genau einen Wert
für M<k> und genau einen Wert für M<l>, sodass die Gleichung erfüllt ist.

=back

=head3 Vorgehen bei einem System aus drei Gleichungen für zwei
Lö­sungs­va­ri­a­blen

=over

=item 1.

Eine Gleichung wird nach einer Lösungsvariablen aufgelöst.

=item 2.

Der erhaltene Term wird in eine weitere Gleichung eingesetzt.

=item 3.

Man versucht, für die zweite Lösungsvariante einen Term zu bestimmen. [Falls
das nicht gelingt, hat das Gleichungssystem keine Lösung.]

=item 4.

Falls für beide Lösungsvariablen Terme gefunden wurden, muss überprüft werden,
ob auch die restliche Gleichung damit er­füllt ist.

=back


=for timestamp
Fr Apr  7 15:41:07 CEST 2006

=head3 Teilverhältnis

  --------+-----+-----+--------
          A     T₁    B

[M<T_1> Mittelpunkt von M<\left[AB\right]>]

M<\overrightarrow{AT} = \lambda \overrightarrow{TB};>

=over

=item *

M<T \in AB \setminus \left[AB\right.>: M<\lambda \in \left]-1, 0\right[;>

=item *

M<T = A>: M<\lambda = 0;>

=item *

M<T \in \left[A T_1\right] \setminus \left\{ A, T_1 \right\}>: M<\lambda \in
\left]0, 1\right[;>

=item *

M<T = T_1>: M<\lambda = 1;>

=item *

M<T \in \left[T_1 B\right] \setminus \left\{ T_1, B \right\}>: M<\lambda \in
\left]1, \infty\right[;>

=item *

[M<T = B>: M<\lambda> undefiniert]

=item *

[M<T \in AB \setminus \left.AB\right]>: M<\lambda \in \left]-\infty,
-1\right[;>]

=back

M<\lambda = \lambda(T);>

M<\lambda(0) = 0;>

M<\lambda = \frac{T - A}{B - T} = \frac{T}{B - T};>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 07 Apr 2006 15:53:04 CEST.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nT\n"
set ylabel "lambda\n"
set xrange [ -3.000000 : 7.000000 ]
set yrange [ -5.000000 : 5.000000 ]
set grid
set xtics ("A" 1, "B" 3, "T_1" 2)
set ytics ("-1" -1, "0" 0, "1" 1)

# Function definitions
func0(x) = (x-1.)/(3.-x)

# Plotting
plot func0(x) t "lambda(T)" w l lt 1

=hend


=for timestamp
Di Apr 25 16:58:50 CEST 2006

Festlegung: M<A>, M<B>, M<T> liegen auf einer Geraden. M<T> teilt
M<\left[AB\right]> im Verhältnis M<\lambda>. ⇔ M<\overrightarrow{AT} = \lambda
\overrightarrow{TB};>


=for timestamp
Di Okt 10 17:42:16 CEST 2006

=head3 Abstand einer Geraden zu einem Punkt

M<\overrightarrow{PS} \cdot \vec u = 0;>

M<\left(\underbrace{\vec A + k_S \vec u}_{\vec S} - \vec P\right) \cdot \vec u
= 0;> (Gleichung für M<k_s>)

=head3 Abstand zweier Geraden

M<g{:}\, \vec X = \vec A + k \vec u; \quad k \in \mathds{R};>

M<h{:}\, \vec X = \vec B + l \vec v; \quad l \in \mathds{R};>

M<d(g,h) = \left|\overrightarrow{PQ}\right|> mit M<P \in g> und M<Q \in h> und
M<\left[PQ\right] \perp g> und M<\left[PQ\right] \perp h>.

M<\vec P = \vec A + k_P \vec u; \quad \overrightarrow{PQ} \cdot \vec u = 0;>

M<\vec Q = \vec B + l_Q \vec v; \quad \overrightarrow{PQ} \cdot \vec v = 0;>

M<\left(\vec B + l_Q \vec v - \vec A - k_P \vec u\right) \cdot \vec u = 0;>

M<\left(\vec B + l_Q \vec v - \vec A - k_P \vec u\right) \cdot \vec v = 0;>