=for timestamp
Mo Okt 16 18:10:01 CEST 2006

=head2 105. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 235, Aufgabe 1

Beweise folgenden Satz mit dem Skalarprodukt:

In jeder Raute stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2475 2700 23 23 2475 2700 2498 2700
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1350 2700 23 23 1350 2700 1373 2700
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2025 1800 23 23 2025 1800 2048 1800
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3150 1800 23 23 3150 1800 3173 1800
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2250 2250 23 23 2250 2250 2273 2250
2 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 5
	 1350 2700 2025 1800 3150 1800 2475 2700 1350 2700
2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2
	 1350 2700 3150 1800
2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2
	 2025 1800 2475 2700
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 135 1140 2925 A\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 120 2505 2955 B\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 135 3255 1800 C\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 135 1875 1710 D\001

=hend

M<\renewcommand{\arraystretch}{1.8}\begin{array}{rcl}
{} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} &=&
{} \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) \left(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\right) =
{} \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) \left(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB}\right) = \\
{} &=&
{} -\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) \left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\right) =
{} -\left({\overrightarrow{AB}}^2 - {\overrightarrow{BC}}^2\right) = \\
{} &=&
{} -\left(\left|\overrightarrow{AB}\right| - \left|\overrightarrow{BC}\right|\right) =
{} 0;
\end{array}>

=head3 Geometrie-Buch Seite 235, Aufgabe 4

Beweise folgenden Satz mit dem Skalarprodukt:

Satz über die Höhen im Dreieck:

Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Voraussetzung: M<\overrightarrow{CS} \overrightarrow{AB} = 0; \quad
\overrightarrow{AS} \overrightarrow{BC} = 0;>

Behauptung: M<\overrightarrow{BS} \overrightarrow{AC} = 0;>

Begründung der Behauptung: Wenn M<\overrightarrow{BS}> auf
M<\overrightarrow{AC}> tatsächlich senkrecht steht, dann ist M<BS> die Höhe des
Dreiecks auf M<B>. Das kann aber nur dann der Fall sein, wenn die Höhe auch
tatsächlich durch M<S> geht.