=for timestamp
Di Okt 17 19:30:05 CEST 2006

=head2 106. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 7

Gib die Gleichung einer Ursprungsgeraden M<u> an, die M<g{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\5\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!> senkrecht
schneidet.

M<\left|\vec X\right|^2 = \left(3 + 2 \mu\right)^2 + \left(5 + \mu\right)^2  +
\left(1 + 3 \mu\right)^2 = 35 + 28 \mu + 14 \mu^2;>

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\vec X\right|^2 = 28 \mu + 28
\stackrel{!}{=} 0;> ⇔ M<\mu = -1;>

M<u{:}\, \vec X = \lambda \vec X_g(-1) = \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\4\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=head3 Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 8

M<g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)
+ \mu \left(\!\begin{smallmatrix}0\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
P(1,-1,1);>

=over

=item a)

Berechne den Fußpunkt M<F> des Lots von M<g> durch M<P>.

M<\left|\overrightarrow{PX}\right|^2 =
\left|\left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = 8 +
4\mu + 5\mu^2;>

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{PX}\right|^2 = 4 + 10
\mu \stackrel{!}{=} 0;> ⇔ M<\mu = -\frac{2}{5};>

M<\vec F = \vec X_g\!\left(-\frac{2}{5}\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\3/5\\1/5\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

Gib eine Gleichung der Normalen M<n> von M<g> durch M<P> an.

M<n{:}\, \vec X = \vec F + \lambda \overrightarrow{FP} =
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\3/5\\1/5\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-8/5\\4/5\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item c)

Berechne den Abstand von M<P> und M<g>.

M<\left|\overrightarrow{P F}\right| = \left|\overrightarrow{P
X\!\left(\frac{2}{5}\right)}\right| = \sqrt{8 + 4 \left(-\frac{2}{5}\right) + 5
\left(-\frac{2}{5}\right)^2} = \frac{6}{\sqrt{5}};>

=item d)

M<P'> und M<P> sind symmetrisch bezüglich M<g>. Berechne M<P'>.

M<\vec P' = \vec X_n(-1) =
\left(\!\begin{smallmatrix}5\\11/5\\-3/5\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 230, Aufgabe 10

M<g{:}\, \vec X = \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad h{:}\,
\vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right) +
\lambda \left(\!\begin{smallmatrix}5\\5\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
P(1,2,3);>

=over

=item a)

M<g> an M<P> gespiegelt ergibt M<g'>. Gib eine Gleichung von M<g'> an.

M<g'{:}\, \vec X = \vec X_g + 2 \overrightarrow{X_g P} =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\6\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

M<P> an M<g> gespiegelt ergibt M<P'>. Berechne M<P'>.

M<\left|\overrightarrow{P X_g}\right|^2 = 3 \mu^2 - 12 \mu + 14;>

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{P X_g}\right|^2 = 6
\mu - 12 \stackrel{!}{=} 0;> ⇔ M<\mu = 2;>

M<\vec P' = \vec P + 2 \overrightarrow{P X_g(2)} =
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item c)

M<h> an M<g> gespiegelt ergibt M<g'>. Gib eine Gleichung von M<h'> an.

M<h'{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\3\end{smallmatrix}\!\right)
+ \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\7\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Möglicher Ansatz: Zwei beliebige feste Punkte spiegeln und dann eine Gerade
durch die Bildpunkte legen. M<P> hat man schon in Aufgabe b) an M<g>
gespiegelt, also müsste man nur noch einen zweiten Punkt spiegeln.

=back

"so lange gelacht und doch ist es Realität..."

"der Mensch hat doch drei Hände"