=for timestamp
Mi Nov 29 18:52:51 CET 2006

=head2 118. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 257, Aufgabe 22

Vertrackte Substitutionen:

=over

=for timestamp
Mo Dez  4 18:31:05 CET 2006

=item c)

M<\displaystyle
{}\int \frac{1}{x \sqrt{1 - x^2}} \,\mathrm{d}x =
{}\int \frac{1}{\cos t \underbrace{\sqrt{1 - \cos^2 t}}_{\sin t}} \cdot \left(\cos t\right)' \,\mathrm{d}t =
{}\int -\frac{1}{\cos t} \,\mathrm{d}t =
{}-\int \frac{1 + \tan^2 t/2}{1 - \tan^2 t/2} \,\mathrm{d}t =
{}-\int \frac{1 + z^2}{1 - z^2} \cdot \underbrace{\left(2 \arctan z\right)'}_{\frac{2}{x^2 + 1}} \,\mathrm{d}z =
{}-2 \int \frac{1}{1 - z^2} \,\mathrm{d}z =
{}-\int \frac{1}{1 + z} + \frac{1}{1 - z} \,\mathrm{d}z + C =
{}-\left[\ln\!\left|1 + z\right| - \ln\left|1 - z\right|\right] + C =
{}-\ln \left|\frac{1 + z}{1 - z}\right| + C =
{}-\ln \left|\frac{1 + \tan t/2}{1 - \tan t/2}\right| + C =
{}-\ln \left|\frac{1 + \tan\!\left(\frac{1}{2} \arccos x\right)}{1 - \tan\!\left(\frac{1}{2} \arccos x\right)}\right|\! + C;>

Substitutionen:

M<x = \cos t;> ⇔ M<t = \arccos x;>

M<t = 2 \arctan z;> ⇔ M<z = \tan t/2;>

=for timestamp
Mi Nov 29 18:52:51 CET 2006

=item d)

M<\int \frac{1}{1 + \sin x} \,\mathrm{d}x>

=back

=head3 Selbstgestellte Aufgabe

=over

=item a)

M<\int \frac{\ln^4 x}{x} \,\mathrm{d}x = \int \ln^4 x \cdot \left(\ln x\right)'
\mathrm{d}x = \frac{1}{5} \ln^5 x + C;>

=item b)

M<\int \frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \,\mathrm{d}t = \int \frac{\sin u}{u}
\cdot \left(u^2\right)' \mathrm{d}u = 2 \int \sin u \,\mathrm{d}u = -2 \cos u =
-2 \cos \sqrt{t} + C;>

=back


=for timestamp
Sa Dez  2 17:23:19 CET 2006

"ich schau' dann recht grimmig, weil damit zerstör' ich ihr Feindbild nocht...
das nennt man dann »Rücksicht«"