=for timestamp
Mi Dez 20 18:22:09 CET 2006

=head2 125. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 172, Aufgabe 23

Gegeben ist die Funktion M<f_k> mit M<f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{kx}>, wobei M<k
E<gt> 0> ist.

M<G_{f_k}> ist der Graph von M<f_k>.

=over

=item a)

Bestimme den maximalen Definitionsbereich und untersuche M<f_k> auf
Symmetrieeigenschaften, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Asymptoten.

=over

=item *

Maximaler Definitionsbereich:

M<k x \neq 0;> ⇔ M<x \neq 0>, da M<k E<gt> 0;>

→ M<D_{f_k} = \mathds{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\!;>

=item *

Symmetrieeigenschaften:

M<f(-x) = -\frac{x^2 - k^2}{k x} = -f_k(x);>

→ Punktsymmetrie zum Ursprung

=item *

Nullstellen:

M<f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{k x} \stackrel{?}{=} 0;> ⇔ M<x^2 - k^2
\stackrel{?}{=} 0;> ⇔ M<\left|x\right| = \left|k\right| = k;>

→ Nullstellen: M<-k>, M<k>

=item *

Extrema:

M<f_k'(x) = \frac{k x \cdot 2x - \left(x^2 - k^2\right) \cdot k}{\left(k
x\right)^2} = \frac{x^2 + k^2}{k x^2};>

GERIGKmethode für M<f_k'(x)>:

          0
  --------|------->

  ----------------- x^2 + k^2
  --------0-------- k x^2

      +  [0]  +

→ Keine Extrema

=item *

Wendepunkte:

Keine, aber Wechsel des Krümmungsverhalten bei M<x = 0>, da M<f_k'> bei M<x =
0> ein Extremum hat.

=item *

Asymptoten:

M<x = 0;> (VZW an der Polstelle von M<-> nach M<+> bei M<x = 0>)

M<y = \frac{x}{k};> (Beweis: M<f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{k x} = \frac{x}{k} -
\frac{k}{x}; \quad \lim\limits_{x \to \pm \infty} f_k(x) - \frac{x}{k} = 0;>)

=back

=item b)

Zeichne den zu M<k = 3> gehörigen Graphen M<G_{f_3}>.

=item c)

Für welche Werte von M<m> hat die Gerade M<y = m x> mit M<G_{f_k}> keine Punkte
gemeinsam?

M<y = m x \stackrel{?}{=} \frac{x^2 - k^2}{k x} = f_k(x);> ⇔

M<k m x^2 \stackrel{?}{=} x^2 - k^2; \quad x^2 \stackrel{?}{=} -\frac{k^2}{km - 1};>

RHS muss positiv sein: M<-\frac{k^2}{km - 1} \stackrel{?}{\geq} 0;> ⇔
M<\frac{1}{km - 1} \leq 0;> ⇔ M<k m \leq 1;>

Außerdem: M<km - 1 \neq 0;> ⇔ M<km \neq 1;>

Also: M<k m E<lt> 1;> ⇔ M<m E<lt> \frac{1}{k};>

Die Gerade M<y = m x> hat für M<m \geq \frac{1}{k}> keine Punkte mit M<G_{f_k}>
gemeinsam.

=item d)

Bestimme ohne Berechnung des Integrals die Abszisse des Extremums der Funktion
M<F_k> mit

M<F_k(x) = \int\limits_1^x f_k(t) \,\mathrm{d}t = \int\limits_1^x \frac{t^2 -
k^2}{k t} \,\mathrm{d}t;>

Von welcher Art ist dieses Extremum?

In welchem Bereich ist M<F_k> definiert?

GERIGKmethode für M<f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{kx} = \frac{\left(x -
k\right)\left(x + k\right)}{k x}>:

      -k     0     k
  -----|-----|-----|---->

  - - - - - - - - -0----> x - k
  - - -0----------------> x + k
  - - - - - -0----------> k x

    -  0  + [0] -  0  +

M<D_{F_k} = \mathds{R}^+;> (da an der Stelle M<0> der Integrand unendlich wird)

→ Bei M<x = k> einziges Extremum (ein Tiefpunkt).

=item e)

Der Graph M<G_h> einer ganzrationalen Funktion M<h> dritten Grades ist
punktsymmetrisch zum Ursprung und berührt M<G_{f_3}> in den Nullstellen von
M<f_3>.

Ermittle den Funktionsterm M<h(x)> und die Extrema von M<h>.

M<h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d;>

M<h(-x) = -ax^3 + bx^2 - cx + d \stackrel{!}{=} -ax^3 - bx^2 - cx - d = -h(x);>
⇔ M<bx^2 + d = 0;> ⇔ M<d = -bx^2;>

M<h(\pm 3) = a \left(\pm 3\right)^3 + c \left(\pm 3\right) = \pm 27a \pm 3c =
\stackrel{!}{=} 0;> ⇔ M<c = -9a;>

M<h(x) = ax^3 - 9ax; \quad h'(x) = 3ax^2 - 9a;>

M<h'(\pm 3) = 27a - 9a = 18a \stackrel{!}{=} f_3'(\pm 3) = \frac{2}{3};> ⇔
M<a = \frac{1}{27};>

→ M<h(x) = \frac{1}{27}\left(x^3 - 9x\right);>

GERIGKmethode für M<h'(x) = \frac{1}{9}\left(x^2 - 3\right) =
\frac{1}{9}\left(x + \sqrt{3}\right)\left(x - \sqrt{3}\right)>:

  -sqrt(3)     0     sqrt(3)
  -------|-----|-----|------>

  --------------------------- 1/9
  - - - -0------------------- x + sqrt(3)
  - - - - - - - - - -0------- x - sqrt(3)

     +   0     -     0   +

→ HOP bei M<\left(-\sqrt{3}, \frac{2}{9} \sqrt{3}\right)\!;>

→ TIP bei M<\left(\sqrt{3}, -\frac{2}{9} \sqrt{3}\right)\!;>

=item f)

Zeichne M<G_h> in die Zeichnung von Teilaufgabe b) ein.

=item g)

Welche Fläche schließt M<G_h> mit der positiven M<x>-Achse ein?

Nullstellen von M<h>: M<-3>, M<0>, M<3>

Fläche: M<\left\{ (x,y) \,\middle|\, x \in \left[0,3\right] \wedge h(x) \leq y
\leq 0 \right\}\!;>

Flächeninhalt:
M<\left|\int\limits_0^3 \left|h(x)\right| \,\mathrm{d}x\right| =
{}\left|-\frac{1}{27} \int\limits_0^3 x^3 - 9x \,\mathrm{d}x\right| =
{}\left|-\frac{1}{27} \left[\frac{1}{4} x^4 - \frac{9}{2} x^2\right]_0^3\right| =
{}\left|-\frac{1}{27} \left[\frac{1}{4} x^4 - \frac{9}{2} x^2\right]_0^3\right| =
{}\frac{3}{4};>

=item h)

Die Funktion M<h_1> sei gegeben durch

M<h_1(x) = \begin{cases}
{}\frac{x}{3} - \frac{3}{x} & \text{für } \left|x\right| \geq 3; \\
{}\frac{1}{27}\left(x^3 - 9x\right) & \text{für } \left|x\right| E<lt> 3;
\end{cases}>

Ihr Graph ist M<G_{h_1}>.

Kennzeichne M<G_{h_1}> in der Zeichnung der Teilaufgabe b) mit Farbe. Wie oft
ist M<h_1> bei M<x = 3> differenzierbar? (Begründung!)

Stetigkeit von M<h_1> an der Stelle M<3>:
M<\lim\limits_{x \to 3-} h_1(x) = \lim\limits_{x \to 3+} h_1(x) = h_1(3) = 0;>

Provisorisch: M<h_1'(x) = \begin{cases}
{} \frac{1}{3} + \frac{3}{x^2} & \text{für } \left|x\right| \geq 3; \\
{} \frac{1}{27}\left(3x^2 - 9\right) & \text{für } \left|x\right| E<lt> 3;
\end{cases}>

M<\lim\limits_{x \to 3-} h_1'(x) = \frac{2}{3} = \lim\limits_{x \to 3+} h_1'(x);>

→ Provisorisches M<h_1'> ist in der Tat die Ableitungsfunktion von M<h_1>.

Provisorisch: M<h_1''(x) = \begin{cases}
{} -\frac{6}{x^3} & \text{für } \left|x\right| \geq 3; \\
{} \frac{2}{9}x & \text{für } \left|x\right| E<lt> 3;
\end{cases}>

M<\lim\limits_{x \to 3-} h_1''(x) = \frac{2}{3} \neq -\frac{2}{9} =
\lim\limits_{x \to 3+} h_1''(x);>

→ M<h_1> ist nicht zweimal an der Stelle M<x = 3> differenzierbar; das
provisorisch aufgestellte M<h_1''> ist nicht die Ableitungsfunktion von
M<h_1'>.

=back

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# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Wed, 20 Dec 2006 19:26:51 CET.

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# Coordinate system settings
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set ylabel "y\n"
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set yrange [ -7.300000 : 7.300000 ]
set grid
set xtics 2.000000
set ytics 2.000000

# Function definitions
func0(x, k) = (x**2.-k**2.)/(k * x)
func1(x) = 1./27.*(x**3. - 9.*x)
func2(x) = x/3.

# Plotting
plot func0(x, 3.000000) t "f_3" w l lt 1, func1(x) t "h" w l lt 2, func2(x) t "" w l lt 3

=hend

=head3 Analysis-Buch Seite 172, Aufgabe 24

Gegeben ist die Funktion M<f> mit M<f(x) = \frac{2x - 4}{1 - x}>; ihr Graph sei
mit M<G_f> bezeichnet.

=over

=item a)

Bestimme die maximale Definitionsmenge M<D_f> von M<f> und untersuche M<G_f>
auf Schnittpunkte mit dem Koordinatenachsen.

M<1 - x \neq 0;> ⇔ M<x \neq 1;>

→ M<D_f = \mathds{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\!;>

M<f(0) = -4;>

M<f(x) = \frac{2x - 4}{1 - x} \stackrel{?}{=} 0;> ⇔ M<2x - 4 \stackrel{?}{=}
0;> ⇔ M<x = 2; \quad f(2) = 0;>

=item b)

Untersuche das Verhalten von M<f(x)> für M<x \to \pm \infty> und für M<x \to
1>.

M<f(x) = \frac{2x - 4}{1 - x} = -2 - \frac{2}{1 - x};>

M<\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = -2;>

M<\lim\limits_{x \to 1\pm} f(x) = \pm\infty;>

=item c)

Welches Monotonieverhalten zeigt die Funktion M<f>? Hat M<G_f> Extrempunkte?
Begründe deine Antwort.

M<f'(x) = -\frac{2}{\left(1 - x\right)^2} E<lt> 0> für alle M<x \in D_{f'} =
\mathds{R} \setminus \left\{ 1 \right\}\!;>

→ M<f> ist auf M<\left]-\infty, 1\right[> und M<\left]1, \infty\right[> streng
monoton fallend. (XXX auf ganz M<D_f> smf? Oder mit M<1> jeweils
eingeschlossen? Oder nur bei einem eingeschlossen?)

GERIGKmethode von M<f'(x)>:

          1
  --------|------>

  --------0- - - - 1 - x
  --------0- - - - 1 - x

      +   0   +

→ M<f> hat keine Extrempunkte. (Aber eine Wendestelle bei M<x = 1>, da M<f'>
bei M<x = 1> ein Extremum hat.)

(XXX ist es richtig, zu sagen, bei M<x = 1> liege eine Wendestelle, aber kein
Wendepunkt vor?)

=item d)

Zeichne nun M<G_f>.

=item e)

Begründe, weshalb M<f> umkehrbar ist. Gib die Funktionsgleichung M<y =
f^{-1}(x)> für die Umkehrfunktion M<f^{-1}> von M<f> sowie den De­fi­ni­tions-
und den Wertebereich von M<f^{-1}> an.

M<f> ist umkehrbar, weil es bei beiden Ästen streng monoton ist und weil sich
die Äste nicht "überlappen"; M<f> ist injektiv.

M<f(y) = \frac{2y - 4}{1 - y};> ⇔ M<f(y) - y f(y) = 2y - 4;> ⇔ M<y = \frac{-4 -
f(y)}{-f(y) - 2} = \frac{f(y) + 4}{f(y) + 2} = f^{-1}(f(y));>

M<f(y) + 2 \neq 0;> ⇔ M<f(y) \neq -2;>

M<D_{f^{-1}} = W_f = \mathds{R} \setminus \left\{ -2 \right\}; \quad
{}W_{f^{-1}} = D_f = \mathds{R} \setminus \left\{ 1 \right\};>

(XXX wieso ist M<-2> nicht M<1>, gespiegelt an M<y = x>?)

=item f)

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen M<G_f> und
M<G_{f^{-1}}>.

(M<G_{f^{-1}}> ist der Graph von M<f^{-1}{:}\, x \mapsto y>)

M<f(x) = \frac{2x - 4}{1 - x} \stackrel{?}{=} \frac{x + 4}{x + 2} = f^{-1}(x);> ⇔

M<\left(2x - 4\right)\left(x + 2\right) = 2x^2 + 4x - 4x - 8 \stackrel{?}{=}
x - x^2 + 4 - 4x = \left(x + 4\right)\left(1 - x\right);> ⇔

M<3x^2 + 3x - 12 \stackrel{?}{=} 0;>

M<x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 3 \cdot \left(-12\right)}}{2 \cdot
3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2};>

M<y_1 \approx 1{,}56; \quad y_2 \approx -2{,}56;>

=item g)

Zeige, dass die Funktion M<F{:}\, x \mapsto \ln\!\left[\left(1 -
x\right)^2\right] - 2x> mit M<D_F = D_f> eine Stammfunktion von M<f> ist.

M<F'(x) = \frac{1}{\left(1 - x\right)^2} \cdot 2\left(1 - x\right) \cdot
\left(-1\right) - 2 = -\frac{2}{1 - x} - 2 = f(x);>

=item h)

Bestimme den Flächeninhalt der Figur, die vom Graphen M<G_f>, von der Geraden
M<y = x> sowie von den beiden Geraden M<y = -2> und M<x = 0> begrenzt wird, auf
zwei Dezimalstellen genau.

Schnittpunkte vom Graphen von M<y = x> und M<f(x)> = Schnittpunkte von M<G_f>
und M<G_{f^{-1}}>.

M<x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2};>

M<\frac{1}{2} \left[2 + \left(2 + f(x_1)\right)\right] \cdot x_1 +
{}\int\limits_{x_1}^{\infty} f(x) - \left(-2\right) \,\mathrm{d}x =
{}\infty;>

=back

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set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = -2.-2./(1.-x)
func1(x) = x
func2(x) = -2.

# Plotting
plot func0(x) t "y = f(x)" w l lt 1, func1(x) t "y = x" w l lt 2, func2(x) t "y = -2" w l lt 3

=hend


=for timestamp
Do Dez 21 14:29:05 CET 2006

=head3 Analysis-Buch Seite 172, Aufgabe 25

Gegeben ist die Funktion M<f_a> mit M<f_a(x) = \frac{a^2}{x^2} - \frac{x}{a}>
(M<a E<gt> 0>). Der Graph von M<f_a> heiße M<G_{f_a}>.

=over

=item a)

Bestimme den maximalen Definitionsbereich M<D_{f_a}>, die Nullstellen und die
Asymptoten von M<G_{f_a}>.

=over

=item *

Definitionsbereich:

M<x^2 \neq 0;> ⇔ M<D_{f_a} = \mathds{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\!;>

=item *

Nullstellen:

M<f_a(x) = \frac{a^2}{x^2} - \frac{x}{a} \stackrel{?}{=} 0;> ⇔
M<a^3 \stackrel{?}{=} x^3;> ⇔ M<f_a(a) = 0;>

=item *

Asymptoten:

M<x = 0;> (Beweis: M<\lim\limits_{x \to 0\pm} f_a(x) = \infty;>)

M<y = -\frac{x}{a};> (Beweis: M<\lim\limits_{x \to \pm\infty} f_a(x) +
\frac{x}{a} = 0;>)

=back

=item b)

Berechne die Koordinaten M<(x_E,y_E)> und die Art des Extremums von M<f_a>. Hat
M<G_{f_a}> Wendepunkte? (Begründung!)

M<f_a'(x) = -\frac{x^3 + 2a^3}{a x^3};>

M<x^3 + 2a^3 \stackrel{?}{=} 0;> ⇔ M<x = -\sqrt[3]{2} a;>

GERIGKmethode von M<f_a'(x)>:

     -2^(1/3)a     0
  -----------|-----|------>

  - - - - - - - - - - - - - -1
  - - - - - -0------------- x^3 + 2a^3
  - - - - - - - - -0------- a x^3

      -      0  + [0]  -

VZW von M<-> nach M<+> bei M<x = -\sqrt[3]{2} a;> → TIP bei
M<\left(-\sqrt[3]{2} a, \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + \sqrt[3]{2}\right);>

M<f_a''(x) = \frac{6 a^2}{x^4} E<gt> 0> auf ganz M<D_{f_a}>; trotzdem aber
Wendestelle von M<f_a> bei M<x = 0>.

=item c)

Zeichne den zu M<a = 2> gehörigen Graphen M<G_{f_2}>.

=item d)

Wie lässt sich die Tatsache interpretieren, dass M<y_E> den Parameter M<a>
nicht enthält?

Alle Tiefpunkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden.

=item e)

Berechne M<F_2(x) = \int\limits_1^x f_2(t) \,\mathrm{d}t = \int\limits_1^x
\left(\frac{4}{t^2} - \frac{t}{2}\right) \mathrm{d}t>.

M<F_2(x) = \int\limits_1^x \left(\frac{4}{t^2} - \frac{t}{2}\right) \mathrm{d}t
= \left[-\frac{4}{t} - \frac{t^2}{4}\right]_1^x = -\frac{4}{x} - \frac{x^2}{4}
+ \frac{17}{4};>

=item f)

Begründe die Existenz eines Maximums von M<F_2> und berechne dessen
Koordinaten.

GERIGKmethode von M<f_a(x) = \frac{a^2}{x^2} - \frac{x}{a} = \frac{a^3 - x^3}{a
x^2}>:

        0      a
  ------|------|------>

  -------------0- - - - a^3 - x^3
  ------0-------------- a x^2

    +  [0]  +  0   -

VZW von M<f_a(x)> von M<+> nach M<-> bei M<x = a;> → HOP bei M<\left(a,
-\frac{4}{a} - \frac{a^2}{4} + \frac{17}{4}\right)\!;>

=item g)

Für welche Werte von M<k> hat die Gerade

M<g_k{:}\, y = -\frac{1}{a} x + k>

mit M<G_{f_a}> keine Punkte gemeinsam? Welche Schnittpunkte ergeben sich für
M<k = a^2>?

Konventioneller Ansatz über M<y = -\frac{1}{a}x + k \stackrel{?}{=} \frac{a^3 -
x^3}{a x^2} = f_a(x);> führt nicht zum Ziel, da die Nullstellen eines Polynoms
vierter Ordnung zu finden wären.

Stattdessen Überlegung mit den Erkenntnisen der a): M<y> ist für M<k = 0>
Asymptote von M<G_{f_a}>, mit M<f_a(x) E<gt> -\frac{x}{a}> für alle M<x \in
D_{f_a}>.

Also: Für M<k \leq 0> gibt es keine Schnittpunkte.

M<-\frac{1}{a}x + a^2 = \frac{-x + a^3}{a} = \frac{a^3 - x^3}{a x^2};> ⇔

M<-x^3 + x^2 a^3 = a^3 - x^3;> ⇔ M<\left|x\right| = 1;>

Schnittpunkte: M<\left(\pm 1, \mp\frac{1}{a} + a^2\right);>

=item h)

Die Funktion M<h_a> ist gegeben durch

M<h_a(x) = \begin{cases}
{}\frac{a^2}{x^2} - \frac{x}{a} & \text{für } \left|x\right| \geq 1; \\
{}-\frac{x}{a} + a^2            & \text{für } \left|x\right| E<lt> 1;
\end{cases}>

Ihr Graph heiße M<G_{h_a}>.

Zeichne den zu M<a = 2> gehörigen Graphen M<G_{h_2}>.

Untersuche M<h_a> an der Stelle M<x = 1> auf Stetigkeit und
Differenzierbarkeit.

M<\lim\limits_{x \to 1-} h_a(x) =
{}\lim\limits_{x \to 1-} -\frac{x}{a} + a^2 = -\frac{1}{a} + a^2 = h_a(1) =
{}\lim\limits_{x \to 1+} \frac{a^2}{x^2} - \frac{x}{a} =
{}\lim\limits_{x \to 1+} h_a(x);>

→ M<h_a> ist an der Stelle M<x = 1> stetig.

Provisorische Ableitungsfunktion:

M<h_a'(x) = \begin{cases}
{}-\frac{2a^2}{x^3} - \frac{1}{a} & \text{für } \left|x\right| \geq 1; \\
{}-\frac{1}{a}                    & \text{für } \left|x\right| E<lt> 1;
\end{cases}>

M<\lim\limits_{x \to 1-} h_a'(x) =
{}\lim\limits_{x \to 1-} -\frac{1}{a} = -\frac{1}{a} \neq
{}\lim\limits_{x \to 1+} -2a^2 - \frac{1}{a} =
{}\lim\limits_{x \to 1+} -\frac{2a^2}{x^3} - \frac{1}{a} =
{}\lim\limits_{x \to 1+} h_a'(x);>

→ M<h_a> ist an der Stelle M<x = 1> nicht differenzierbar; das provisorisch
aufgestellte M<h_a'> ist nicht Ableitungsfunktion von M<h_a>.

=item i)

Berechne den Inhalt M<J(r)> des Flächenstücks, das von M<G_{h_a}>, der Geraden
M<g_0{:}\, y = -\frac{1}{a} x>, der M<y>-Achse und der Geraden M<x = r> (M<r
E<gt> 0>) eingeschlossen wird.

M<h_a(0) = a^2;>

M<A_1 = a^2 \cdot 1;>

M<A_2 =
{}\int\limits_1^r h_a(x) - y_{g_0} \,\mathrm{d}x =
{}\int\limits_1^r \frac{a^2}{x^2} \,\mathrm{d}x =
{}\left[-\frac{a^2}{x}\right]_1^r =
{}-\frac{a^2}{r} + a^2 = a^2 \left(1 - \frac{1}{r}\right);>

M<J(r) = \begin{cases}
{} A_1 \cdot r = r a^2                            & \text{falls } 0 E<lt> x E<lt> 1; \\
{} A_1 + A_2   = a^2 \left(2 - \frac{1}{r}\right) & \text{sonst};
\end{cases};>

=item j)

Bestimme M<\lim\limits_{r \to \infty} J(r)>.

M<\lim\limits_{r \to \infty} J(r) =
{}\lim\limits_{r \to \infty} a^2 \left(2 - \frac{1}{r}\right) =
{}2 a^2;>

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=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Thu, 21 Dec 2006 17:38:57 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -5.000000 : 5.000000 ]
set yrange [ -4.000000 : 6.000000 ]
set grid
set xtics 2.000000
set ytics 2.000000

# Function definitions
func0(x) = 2.**2./x**2. - x/2.
func1(x) = -x/2.
func2(x) = -x/2. + 2.**2.+(sqrt(x-((-1<1?-1:1)))-sqrt(x-((-1<1?-1:1))+0.0000001))+(sqrt(((-1<1?1:-1))-x)-sqrt(((-1<1?1:-1))-x+0.0000001))

# Plotting
plot func0(x) t "f_2" w l lt 1, func1(x) t "g_0" w l lt 2, func2(x) t "h_a für |x| < 1" w l lt 3

=hend