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Di Jan 30 17:59:39 CET 2007

=head2 130. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 222, Aufgabe 13

Ein serienmäßig hergestelltes Gerät bestehe aus M<n> Teilen. Die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil nicht funktioniert, sei für alle Teile gleich
M<p>. Fehlerhaftigkeit bzw. Brauchbarkeit der Teile seien unabhängige
Ereignisse. Der Zusammenbau des Gerätes soll einwandfrei erfolgen. Das Gerät
sei funktionsuntüchtig, wenn mindestens ein Teil fehlerhaft ist. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeit für Funktionsuntüchtigkeit in den Fällen

=over

=item a)

M<n = 5>, M<p = 0{,}03>,

=item b)

M<n = 250>, M<p = 0{,}003>.

=back

(Nach diesem Modell erklärt man sich das Versagen der Steuerung großer Raketen,
die aus sehr vielen Einzelteilen zusammengesetzt sind.)

=over

=item a)

M<P_{\text{a}} = 1 - \left(1 - p\right)^5 \approx 14{,}1 \,\%;>

=item b)

M<P_{\text{b}} = 1 - \left(1 - p\right)^{250} \approx 52{,}8 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 222, Aufgabe 14

Die Wahrscheinlichkeit eines sog. "China-Syndroms" (Durchschmelzen eines
Atomreaktors) wird auf maximal M<10^{-5}> geschätzt. Was kann man über die
Wahrscheinlichkeit aussagen, dass 50 Atomreaktoren gleicher Sorte innerhalb
der Wartungszeit störungsfrei arbeiten?

M<q \leq 10^{-5};>

M<P \geq \left(1 - q\right)^{50} \approx 99{,}95 \,\%;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 222, Aufgabe 15

Es liegen Ergebnisse mehrerer Untersuchungen vor, in denen Angehörige eines
medizinischen Personals, die sich Nadelstichverletzungen mit HIV-kontaminierten
Nadeln zugezogen hatten, nachuntersucht wurden. Das Infektionsrisiko wird nach
diesen Studien als unter M<1 \,\%> liegend angesehen. Was lässt sich über die
Wahrscheinlichkeit aussagen, dass von M<10> so verletzten Personen mindestens
eine infiziert wurde?

M<q \leq 1 \,\%;>

M<P \leq 1 - \left(1 - q\right)^{10} \approx 9{,}6 \,\%;>