=for timestamp
Mi Jan 31 16:28:14 CET 2007

=head2 131. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 235, Aufgabe 44

Auf einem Eisenbahnnetz, das von einem Bahnkraftwerk mit Strom versorgt wird,
verkehren zehn Lokomotiven. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute eine
Lokomotive anfährt und dabei eine Stromeinheit benötigt, sei für jede
Lokomotive gleich M<0{,}2>.

=over

=item a)

Mit welchem mittleren Strombedarf hat man zu rechnen?

M<E(X) = 10 \, E(X_i) = 10 \cdot 0{,}2 = 2;>

=item b)

Die Stromleitung sei für maximal viel Stromeinheiten ausgelegt.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt es zu einer Über­las­tung der
Stromversorgung?

M<{P^{10}_{0{,}2}}(X E<gt> 4) = 1 - {P^{10}_{0{,}2}}(X \leq 4) \approx 3{,}3 \,\%;>

=item c)

Für wie viele Stromeinheiten ist die Versorgung auszulegen, damit die Gefahr
der Überlastung nicht größer als M<1 \,\%> wird?

M<{P^{10}_{0{,}2}}(X E<gt> m) = 1 - {P^{10}_{0{,}2}}(X \leq m)
\stackrel{!}{\leq} 1 \,\%;>

Ausprobieren liefert: M<m \geq 5;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 235, Aufgabe 45

Bei einer Prüfung wird ein sog. "Multiple-Choice-Test" mit Fragen angewendet.
Es werden fünf Fragen gestellt. Zu jeder der Fragen sind in zufälliger
Anordnung eine richtige und zwei falsche Antworten gegeben. Die Prüfung gilt
als bestanden, wenn bei mindestens vier Fragen die richtige Antwort angekreuzt
ist. Ein unvorbereiteter Prüfling wählt seine Antworten rein zufällig aus.

=over

=item a)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er die Prüfung?

M<n = 5; \quad p = \frac{1}{3};>

M<P(X \geq 4) = 1 - P(X E<lt> 4) = 1 - P(X \leq 3) \approx 4{,}5 \,\%;>

=item b)

Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung der Anzahl M<X> seiner
richtigen Antworten?

M<E(X) = n p \approx 1{,}7;>

M<\sigma(X) = \sqrt{n p q} \approx 1{,}1;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 238, Aufgabe 57

Bei der laufenden "Gut-Schlecht-Prüfung" eines Massenartikels habe sich ein
Ausschuss von M<10 \,\%> ergeben. Zur Überprüfung des Ausschussprozentsatzes in
der weiteren Produktion greifen wir eine Stichprobe von 10 Stück zufällig
heraus und lehnen die Hypothese, der Ausschussanteil sei weiter M<10 \,\%> ab,
falls sich in der Stichprobe zwei oder mehr Ausschussstücke befinden.

=over

=item a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Hypothese zu Unrecht
verworfen wird?

M<n = 10; \quad p = 10 \,\%;>

M<{P^{10}_{10 \,\%}}(X \geq 2) = 1 - {P^{10}_{10 \,\%}}(X \leq 1) \approx 26{,}4 \,\%;>

=item b)

Wie groß ist bei dieser Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit, dass die
Hypothese nicht verworfen wird, wenn in Wirklichkeit der Ausschussanteil M<20
\,\%> ist?

M<{P^{10}_{20 \,\%}}(X E<lt> 2) = {P^{10}_{20 \,\%}}(X \leq 1) \approx 37{,}6
\,\%;>

=back

=for comment
(%i6) B(n,p,k) := binomial(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k);
(%i7) F(n,p,k) := sum(B(n,p,i), i, 0, k);