=for timestamp
Mo Jan 30 17:10:26 CET 2006

=head2 49. Hausaufgabe

=head3 Beweis der Unabhängigkeit von M<A> und M<\overline{B}> unter der
Voraussetzung der Unabhängigkeit von M<A> und M<B>

Voraussetzung: M<P(A \cap B) = P(A) P(B) = P(A) P_A(B);> ⇒ M<P_A(B) = P(B);>

Vermutung: M<P(A \cap \overline{B}) = P(A) P(\overline{B}) = P(A) \left(1 -
P(B)\right);>

Beweis: M<P(A \cap \overline{B}) = P(A) P_A(\overline{B}) = P(A) \left(1 -
P_A(B)\right) = P(A) \left(1 - P(B)\right);>

=head3 Stochastik-Buch Seite 146, Aufgabe 6

M<A> und M<B> seien zwei unabhängige Ereignisse M<P(A) = \frac{3}{4}>, M<P(B) =
\frac{2}{3}>. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, die durch
folgende Aussagen beschrieben werden:

=over

=item a)

"Keines der beiden Ereignisse tritt ein"

M<P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) P(\overline{B}) =
\frac{1}{12};>

=item b)

"Genau eines der beiden Ereignisse tritt ein"

M<P\!\left[\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap
B\right)\right] = P(A) P(\overline{B}) + P(\overline{A}) P(B) = \frac{5}{12};>

=item c)

"Beide Ereignisse treten ein"

M<P(A \cap B) = P(A) P(B) = \frac{1}{2};>

=item d)

"Mindestens eines von beiden Ereignissen tritt ein"

M<P\!\left[\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap
B\right)\right] + P(A \cap B) - P(A \cap B) = \frac{5}{12};> (XXX:
M<\frac{11}{12}>?)

=item e)

"Höchstens eines von beiden Ereignissen tritt ein"

M<P(\overline{A} \cap \overline{B}) + P\!\left[\left(A \cap \overline{B}\right)
\cup \left(\overline{A} \cap B\right)\right] = P(\overline{A}) P(\overline{B})
+ \ldots = \frac{1}{2};>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 147, Aufgabe 9

Sei M<\Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}> der Ergebnisraum des
Laplace-Experiments "Werfen eines Würfels". Es sei

=over

=item *

M<A>: "Augenzahl größer M<4>"

=item *

M<B>: "Augenzahl gerade"

=item *

M<C>: "Augenzahl kleinergleich M<3>"

=item *

M<D>: "Augenzahl größergleich M<4>"

=item *

M<E>: "Augenzahl kleinergleich M<5>"

=item *

M<F>: "Augenzahl kleinergleich M<4>"

=back

Zeigen Sie:

=over

=item a)

M<A> und M<B> sind vereinbar und unabhängig.

M<A = \left\{ 5, 6 \right\}\!; \quad B = \left\{ 2,4,6 \right\}\!;>

M<A \cap B = \left\{ 6 \right\} \neq \varnothing;>

M<P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} = P(B);>

=item b)

M<C> und M<D> sind unvereinbar und abhängig.

M<C = \left\{ 1,2,3 \right\}\!; \quad D = \left\{ 4,5,6 \right\}\!;>

M<C \cap D = \varnothing;>

M<P_C(D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)} = 0 \neq P(D);>

=item c)

M<E> und M<F> sind vereinbar und abhängig.

M<E = \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\!; \quad F = \left\{ 1,2,3,4 \right\}\!;>

M<E \cap F = \left\{ 1,2,3,4 \right\} \neq \varnothing;>

M<P_E(F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = 1 \neq P(F);>

=back