=for timestamp
Mi Mär  8 19:00:50 CET 2006

=head2 59. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 163, Aufgabe 6b

Die Ortsvektoren von M<A(6, 0, 3)>, M<B(6, 12, 0)> und M<C(-3, 0, 6)> spannen
ein Spat auf.

M<M> ist Kantenmittelpunkt, M<S> ist Mittelpunkt der Deckfläche.

Berechne den Schnittpunkt M<U> von M<\left[CT\right]> und M<\left[0D\right]>.

[M<T = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\5\end{smallmatrix}\!\right)\!;>]

M<\vec D = \vec A + \vec B;>

M<\left[CT\right]\!{:}\, \vec X = \vec C + k \overrightarrow{CT}; \quad k \in
\left[0, 1\right];>

M<\left[0D\right]\!{:}\, \vec X = 0 + l \vec D; \quad l \in \left[0, 1\right];>

Gleichsetzen bringt: M<l = 1; \quad k = 3;>

Da dieser Wert für M<k> nicht in der Definitionsmenge von M<k> liegt, gibt es
keinen Schnittpunkt.

=for timestamp
Do Mär  9 19:20:05 CET 2006

=head3 Geometrie-Buch Seite 164, Aufgabe 8

M<K> und M<L> sind Kantenmitten der vierseitigen Pyramide M<ABCDE>.

=over

=item a)

Zeige, dass sich M<CK> und M<DL> schneiden, und berechne den Schnittpunkt M<S>.

M<A(6, -12, 0)>, M<B(6, 0, 0)>, M<C(-3, 0, 0)>, M<D(-3, -12, 0)>, M<E(0, 0, 6)>

M<
{} \vec K = \frac{\vec A + \vec E}{2} =
{}   \left(\!\begin{smallmatrix}3\\-6\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
{} \vec L = \frac{\vec B + \vec E}{2} =
{}   \left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Gleichsetzen und Auflösen bringt M<k = v = \frac{2}{3};>

Einsetzen bringt M<S =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-4\\\frac{2}{3}\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

Untersuche die Lage von M<AC> und M<ES>. Schnittpunkt M<T>?

Gleichsetzen bringt Widerspruch; es gibt kein Schnittpunkt.

[XXX Falsch: M<S(\frac{3}{2}, -6, 0);>]

=item c)

Untersuche die Lage von M<DK> und M<CL>. Schnittpunkt M<U>?

Gleichsetzen und Auflösen bringt M<k = v = 2;>

Einsetzen bringt M<U =
\left(\!\begin{smallmatrix}9\\0\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=back

=for timestamp
Mi Mär  8 19:00:50 CET 2006

=head3 Geometrie-Buch Seite 167, Aufgabe 20

M<A(1,2,2)>, M<B(2,-1,1)>, M<g_k{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\4\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}2k\\-9\\-3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item a)

Beschreibe die Schar M<g_k>.

Die Schar besteht aus unendlich vielen zueinander nicht parallelen geraden,
die sich alle im Aufpunkt schneiden.

=item b)

Bestimme M<k> so, dass M<g_k> parallel zu M<AB> ist.

M<\left(\!\begin{smallmatrix}2k\\-9\\-3\end{smallmatrix}\!\right) = k
\overrightarrow{AB} = \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<\mu = 3;>

⇒ M<2k = \mu \cdot 1 = 3;> ⇒ M<k = \frac{3}{2};>

=item c)

Für welche Werte von M<k> sind M<AB> und M<g_k> windschief?

windschief ⇔ nicht parallel und nicht scheidend

=for timestamp
Do Mär  9 19:20:05 CET 2006

Gleichsetzen bringt Widerspruch ⇔ schneiden sich niemals in einem Punkt

Also: M<k \neq \frac{3}{2};>

=back