=for timestamp
Fr Mär 24 15:52:25 CET 2006

=head2 66. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 190, Aufgabe 2

Gegeben sind die Ebenen und Geraden:

M<E{:}\, x_1 - 2x_2 + x_3 - 1 = 0; \quad F{:}\, 2x_1 - x_2 - x_3 - 8 = 0;>

Bestimme von jeder Gerade ihre Lage zu M<E> und M<F>.

Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Umrechnung der Koordinatengleichungen von M<E> und M<F> in
Parametergleichungen:

M<E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-9\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
\lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item a)

M<a{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\4\\6\end{smallmatrix}\!\right)
+ \alpha \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\3\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item *

M<D = \begin{vmatrix}2&-1&1\\1&0&-3\\0&1&-4\end{vmatrix} = 3;>

M<D_3 = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&4\\0&1&6\end{vmatrix} = -3;>

M<\alpha = \frac{D_3}{D} = -1;> ⇔ M<a \cap E = \left\{ S \right\}> mit M<\vec S
= \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item *

M<D = \begin{vmatrix}1&0&1\\2&-1&-3\\0&1&-4\end{vmatrix} = 9;>

M<D_3 = \begin{vmatrix}1&0&0\\2&-1&12\\0&1&6\end{vmatrix} = -18;>

M<\alpha = \frac{D_3}{D} = -2;> ⇔ M<a \cap F = \left\{ S \right\}> mit M<\vec S
= \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=back

=item b)

M<b{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\-1\\0\end{smallmatrix}\!\right)
+ \beta \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item *

M<D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-2\\0&1&0\end{vmatrix} = 3;>

M<D_3 = \begin{vmatrix}2&-1&1\\1&0&-1\\0&1&0\end{vmatrix} = 3;>

M<\beta = \frac{D_3}{D} = 1;> ⇔ M<b \cap E = \left\{ S \right\}> mit M<\vec S
= \left(\!\begin{smallmatrix}3\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item *

M<D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-2\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\7\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}1&0&2\\2&-1&7\\0&1&0\end{vmatrix} = -3 \neq 0;> ⇔ M<b \cap F =
\varnothing;>

=back

=item c)

M<c{:}\, \vec X = \gamma
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item *

M<D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix} =
-\begin{vmatrix}2&-1\\1&0\end{vmatrix} = -1 \neq 0;> ⇔ M<c \cap E =
\varnothing;>

=item *

M<D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\8\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}1&0&0\\2&-1&8\\0&1&8\end{vmatrix} = -16 \neq 0;> ⇔ M<c \cap F =
\varnothing;>

=back

=item d)

M<d{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right)
+ \delta \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item *

M<D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\2\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}2&-1&3\\1&0&2\\0&1&1\end{vmatrix} = 0;> ⇔ M<d \cap E = d;>

=item *

M<D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\10\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}1&0&0\\2&-1&10\\0&1&1\end{vmatrix} = -9 \neq 0;> ⇔ M<d \cap F =
\varnothing;>

=back

=item e)

M<e{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}5\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right)
+ \varepsilon \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item *

M<D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}2&-1&4\\1&0&2\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;> ⇔ M<e \cap E = e;>

=item *

M<D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&-1\\0&1&-1\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}5\\10\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}1&0&5\\2&-1&10\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;> ⇔ M<e \cap F = e = E
\cap F;>

=back

=item f)

M<f{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}4\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)
+ \varphi \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item *

M<D = \begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&0&0\\0&1&-2\end{vmatrix} = -3;>

M<D_3 = \begin{vmatrix}2&-1&3\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix} = 3;>

M<\varphi = \frac{D_3}{D} -1;> ⇔ M<f \cap E = \left\{ S \right\}> mit M<\vec S
= \left(\!\begin{smallmatrix}5\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item *

M<D = \begin{vmatrix}1&0&-1\\2&-1&0\\0&1&2\end{vmatrix} = 0;>

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\8\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\begin{vmatrix}1&0&4\\2&-1&8\\0&1&0\end{vmatrix} = 0;> ⇔ M<f \cap F = f;>

=back

=back


=for timestamp
Di Mär 28 16:49:31 CEST 2006

=head3 Geometrie-Buch Seite 190, Aufgabe 5

Die Würfelecken M<A>, M<C>, M<F> und M<H> sind die Ecken eines regelmäßigen
Tetraeders. (Siehe Aufgabe 17 auf Seite 177.)

=over

=item a)

In welchem Punkt schneidet die Raumdiagonale M<HB> die Ebene M<ACF>?

M<A(-4,-4,0); \quad B(0,-4,0); \quad C(0,0,0); \quad F(0,-4,4); \quad
E(-4,-4,4); \quad H(-4,0,4); \quad G(0,0,4);>

M<HB{:}\, \vec X = \vec H + \alpha \overrightarrow{HB};>

M<ACF{:}\, \vec X = \vec C + \lambda \overrightarrow{CA} + \mu
\overrightarrow{CF};>

M<\lambda \overrightarrow{CA} + \mu \overrightarrow{CF} - \alpha
\overrightarrow{HB} = \vec H - \vec C;>

M<D = \begin{vmatrix}-4&0&-4\\-4&-4&4\\0&4&4\end{vmatrix} = 192 \neq 0;>

M<D_3 = \begin{vmatrix}-4&0&-4\\-4&-4&0\\0&4&4\end{vmatrix} = 128;> ⇔ M<\alpha
= \frac{D_3}{D} = \frac{2}{3};>

⇔ M<HB \cap ACF = \left\{ S \right\}> mit M<\vec S =
\left(\!\begin{smallmatrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{8}{3}\\\frac{4}{3}\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

In welchen Punkten schneidet die Gerade durch die Kantenmitten von
M<\left[GC\right]> und M<\left[AE\right]> das Tetraeder?

[XXX]

=back