=for timestamp
Mo Apr  3 17:28:34 CEST 2006

=head2 70. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 196, Aufgabe 2

Bestimme eine Gleichung der Schnittgerade von M<E> und M<F>:

=over

=item a)

M<E{:}\, x_1 + x_2 = 0 = x_1 - x_3; \quad
{}F{:}\, x_2 + x_3 = 0;> ⇔ M<x_2 = - x_3;>

M<\vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}k\\-k\\k\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

M<E{:}\, x_1 = 0; \quad
{}F{:}\, 2 x_2 + x_3 = 1;> ⇔ M<x_3 = 1 - 2 x_2;>

M<\vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\k\\1-2k\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + k
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\1\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item c)

M<E{:}\, x_1 + x_2 + x_3 = 1 = 1 - x_2 + x_2 + x_3 = 1 + x_3; \quad
{}F{:}\, x_1 + x_2 = 1;> ⇔ M<x_1 = 1 - x_2;>

M<\vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1-k\\k\\0\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + k
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item d)

M<E{:}\, x_1 = x_2; \quad
{}F{:}\, x_2 = x_3;>

M<\vec X = k \vec 1;>

=item e)

M<E{:}\, x_1 = x_2; \quad
{}F{:}\, x_1 = x_3;>

M<\vec X = k \vec 1;>

=item f)

M<E{:}\, x_1 = 1; \quad
{}F{:}\, x_2 = 2;>

M<\vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) + k
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 196, Aufgabe 3

M<E{:}\, x_1   + x_2 + x_3     = 0; \quad
{}F{:}\, 2 x_1 + x_2 + x_3 + 4 = 0;>

Wähle der Reihe nach M<x_1>, M<x_2> und M<x_3> als Parameter und versuche,
jeweils eine Gleichung der Schnittgerade zu bestimmen.

M<x_1> als Parameter ist nicht möglich, da M<x_1> konstant M<-4> ist.

M<\vec X_{x_2} =
\left(\!\begin{smallmatrix}-4\\k\\4-k\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}-4\\0\\4\end{smallmatrix}\!\right) + k
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\1\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\vec X_{x_3} =
\left(\!\begin{smallmatrix}-4\\4-k\\k\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}-4\\4\\0\end{smallmatrix}\!\right) + k
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>