=for timestamp
So Mai 21 15:54:16 CEST 2006

=head2 80. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 113, Aufgabe 38

M<\mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2; \quad D_{\mathrm{f}_t} =
\mathds{R}; \quad t E<gt> 0;>

=over

=item a)

Berechne abhängig von M<t>: Schnittpunkte des Graphen und der
Koordinatenachsen, Asymptoten, Tief- und Wendepunkte.

=over

=item *

M<\mathrm{f}_t(0) = \left(1 - t\right)^2; \quad S_y(0, \left(1-t\right)^2);>

M<\mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2 = 0;> ⇒ M<e^x = t;> ⇒ M<x = \ln t;
\quad S_x(\ln t, 0);>

=item *

M<\lim\limits_{x \to \infty} \mathrm{f}_t(x) = \infty;>

M<\lim\limits_{x \to -\infty} \mathrm{f}_t(x) = \lim\limits_{x \to
-\infty} e^{2x} - 2 e^x t + t^2 = 0 - 0 + t^2 = t^2;>

Asymptotengleichung: M<y = t^2;>

=item *

M<\mathrm{f}_t'(x) = 2 \left(e^x - t\right) \cdot e^x;>

            ln t
            |
  ----------+---------->
  
  ---------------------> e^x
  - - - - - *----------> e^x - t
  
       -    0    +

M<P_{\text{TIP}}(\ln t, 0);>

M<\mathrm{f}_t''(x) = 2 e^x \left(e^x - t\right) + 2 e^x e^x = 2 e^x \left(e^x
- t + e^x\right) = 0;> ⇔

M<e^x - t + e^x = 2 e^x - t = 0;> ⇔ M<x = \ln \frac{t}{2};>

M<P_{\text{WEP}}\!\left(\ln \frac{t}{2}, \frac{t^2}{4}\right);>

=back

=item b)

Zeichne M<G_{\mathrm{f}_2}> im Bereich M<\left[-4, \frac{3}{2}\right]>.

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Sun, 21 May 2006 16:22:29 CEST.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -4.500000 : 4.500000 ]
set yrange [ -1.500000 : 8.500000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = (exp(x)-2.)**2.

# Plotting
plot func0(x) t "f_2" w l lt 1

=hend

=item c)

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts M<S> von M<G_{\mathrm{f}_t}> und der
zugehörigen Asymptote.

Auf welcher Kurve liegen diese Schnittpunkte?

M<t^2 = \mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2;>

M<\pm t = e^x - t;>

M<\pm t + t = e^x;>

Zwei Fälle:

=over

=item *

M<0 = e^x;> → keine Lösung

=item *

M<2t = e^x;> ⇔ M<x = \ln 2t; \quad S(\ln 2t, t^2);>

=back

M<\lambda := \ln 2t;> ⇔ M<e^\lambda = 2t;> ⇔ M<\frac{1}{4} e^{2 \lambda} =
t^2;>

Kurve der Schnittpunkte: M<\mathrm{k}(\lambda) = \frac{1}{4} e^{2 \lambda};>

=back

=head3 Analysis-Buch Seite 114, Aufgabe 54

Harte M<\beta>-Strahlen werden zu M<80 \,\%> in einer M<1 \,\mathrm{mm}> dicken
Aluminiumschicht absorbiert.

=over

=item a)

Bei welcher Schichtdicke werden M<50 \,\%> absorbiert?

M<N(d) = N_0 \cdot \left(20 \,\%\right)^{d / 1 \,\mathrm{mm}};>

M<N(d_{50 \,\%}) = N_0 \cdot \left(20 \,\%\right)^{d_{50 \,\%} / 1
\,\mathrm{mm}} = 50 \,\% \cdot N_0;> ⇔

M<d_{50 \,\%} / 1 \,\mathrm{mm} = \log_{20 \,\%} 50 \,\%;> ⇔
M<d_{50 \,\%} = 1 \,\mathrm{mm} \cdot \log_{20 \,\%} 50 \,\% \approx 0{,}4
\,\mathrm{mm};>

=item b)

Bei welcher Schichtdicke dringt noch M<1 \,\%> hindurch?

M<N(d_{1 \,\%}) = N_0 \cdot \left(20 \,\%\right)^{d_{1 \,\%} / 1 \,\mathrm{mm}}
= 1 \,\% \cdot N_0;> ⇔

M<d_{1 \,\%} / 1 \,\mathrm{mm} = \log_{20 \,\%} 1 \,\%;> ⇔
M<d_{1 \,\%} = 1 \,\mathrm{mm} \cdot \log_{20 \,\%} 1 \,\% \approx 1{,}4
\,\mathrm{mm};>

=item c)

Welcher Anteil der Strahlung wird von einer M<0{,}5 \,\mathrm{mm}> starken
Alufolie verschluckt?

M<1 - N(0{,}5 \,\mathrm{mm}) / N_0 = 1 - \left(20 \,\%\right)^{0{,}5
\,\mathrm{mm} / 1 \,\mathrm{mm}} \approx 55 \,\%;>

=back