=for timestamp
Mo Mai 29 17:01:24 CEST 2006

=head2 83. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 115, Aufgabe 61

Berechne:

=over

=item a)

M<\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 1}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x - 1 + 1 + 1}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2x - 1}\right)^{2x - 1 + 1} =
\lim\limits_{u \to \infty} \left(1 + \frac{2}{u}\right)^{u + 1} =
\lim\limits_{u \to \infty} \left(1 + \frac{2}{u}\right)^u \cdot \left(1 +
\frac{2}{u}\right) = e^2 \cdot 1 = e^2;>

=item b)

M<\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 1}{3x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = 0;>

=item c)

M<\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{3x + 1}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} = \infty;>

=item d)

M<\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{3x + 1}{3x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{3x - 1 + 1 + 1}{3x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3x - 1}\right)^{2x + x - x - 1 +
1} = \lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{3x - 1}\right)^{\left(3x -
1\right) \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = \left(e^2\right)^{\frac{2}{3}} =
e^{\frac{4}{3}};>

=item e)

M<\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 2}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x - 1 + 1 + 2}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{3/2}{x}\right)^x\right]^2 =
\left(e^{\frac{3}{2}}\right)^2 = e^3;>

=item f)

M<\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x + 2}{2x - 2}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(\frac{2x - 2 + 2 + 2}{2x - 2}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{2x - 1}\right)^{2x} =
\lim\limits_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{4/2}{x}\right)^x\right]^2 =
\left(e^{\frac{4}{2}}\right)^2 = e^4;>

=back

XXX "Plusminus 1 wird bei Unendlich schon nichts ausmachen" nicht sehr elegant
(Aufgaben e) und f))