=for timestamp
Di Okt 11 16:22:51 CEST 2005

=head2 9. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 36, Aufgabe 16

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto 4 - x; \quad D_{\mathrm{f}} = \left[0, 4\right];>

Berechne die Ober- und Untersumme für eine Einteilung in vier Streifen für die
Fläche M<F = \left\{ (x,y) \,|\, 0 \leq x \leq 4 \wedge 0 \leq y \leq
\mathrm{f}(x) \right\}>. Beachte die Monotonie von M<G_{\mathrm{f}}>!

M<S_n = \frac{4}{n} \sum\limits_{i = 1}^n \mathrm{f}\!\left(4\frac{i - 1}{n}\right);>

M<s_n = \frac{4}{n} \sum\limits_{i = 1}^n \mathrm{f}\!\left(4\frac{i}{n}\right);>

⇒ M<S_4 = 10; \quad s_4 = 6;>

=head3 Analysis-Buch Seite 36, Aufgabe 19

Schreibe M<\mathrm{A}_k> als Integralfunktion M<x \mapsto \int_k^x
\mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t> mit geeigneter Integrandenfunktion M<\mathrm{f}>.

=for latex
\begin{multicols}{2}

=over

=item a)

M<\mathrm{A}_0(x) = x;>

M<\mathrm{A}_k(x) = \int\limits_k^x 1 \,\mathrm{d}t;>

=item b)

M<\mathrm{A}_0(x) = 2x + x^2;>

M<\mathrm{A}_k(x) = \int\limits_k^x \left(2 + 2t\right) \mathrm{d}t;>

=item c)

M<\mathrm{A}_0(x) = \sin x;>

M<\mathrm{A}_k(x) = \int\limits_k^x \cos t \,\mathrm{d}t;>

=item d)

M<\mathrm{A}_1(x) = 1 - x;>

M<\mathrm{A}_k(x) = \int\limits_k^x -1 \,\mathrm{d}t;>

=item e)

M<\mathrm{A}_1(x) = x^2 - 1;>

M<\mathrm{A}_k(x) = \int\limits_k^x 2t \,\mathrm{d}t;>

=item f)

M<\mathrm{A}_{-1}(x) = -x^2 + 1;>

M<\mathrm{A}_k(x) = \int\limits_k^x -2t \,\mathrm{d}t;>

=back

=for latex
\end{multicols}