=for timestamp
Fr Nov 10 17:15:29 CET 2006

=head2 116. Hausaufgabe

=head3 Zusammenfassung der Stunde: Lokalisierung und Delokalisierung

=head4 Vollständige Delokalisierung

=for latex
\vbox{\begin{multicols}{2}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
unset xtics
unset ytics
set xzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nPosition\n"
set ylabel "Ausschlag\n"
set xrange [ -40.000000 : 40.000000 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

# Function definitions
func0(x) = sin(x)

# Plotting
plot func0(x) t "" w l lt 1

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nFrequenz\n"
set ylabel "Intensität\n"
set xrange [ -0.001000 : 10.000000 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

unset xtics
unset ytics

# Plotting
plot "<echo -e '5 0.7'" t "" w impulses lt 1

=hend

=for latex
}}

=for latex
\end{multicols}}

Vollständige Delokalisierung (unendliche Ortsunschärfe) wird mathematisch durch
eine Sinus-Funktion fester Frequenz (Frequenzunschärfe Null) ausgedrückt.

Interpretiert man diese Funktion als Ton, so repräsentiert die Funktion einen
unendlich lang ausgehaltenen, perfekten Sinuston genau einer Frequenz.

Anschaulich drückt sich die Delokalisierung dadurch aus, dass es unendlich
viele Wellenberge gibt -- es ist nicht klar, an welchem dieser Berge man den
Ort festmachen sollte. Es gibt keinen Berg, dem man den Vorzug gegen könnte!

Über ein Elektron mit dieser Wellenfunktion könnte man also nicht sagen, wo es
sich "aufhält" bzw. wo es sich manifestieren wird. Man kennt jedoch den Impuls
(und damit die Geschwindigkeit) genau.

Bezogen auf die Unschärferelationen drückt sich dieser Sachverhalt wiefolgt
aus:

M<\underbrace{\Delta f}_{0 \,\mathrm{Hz}} \cdot \underbrace{\Delta t}_{\infty
\,\mathrm{s}} \geq c;>

M<\underbrace{\Delta p}_{0 \,\mathrm{Ns}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{\infty
\,\mathrm{m}} \geq c;>

Zu beachten ist, dass je nach Unschärferelation andere Größen, und damit auch
andere Achsen auf dem Diagramm, vorkommen. Die beiden Diagramme oben beziehen
sich auf die Ortsunschärfe.

Auch hat hier das M<\Delta>-Symbol eine für uns unübliche Bedeutung: Hier
bedeutet es die stochastische Standardabweichung, während es normalerweise eine
Änderung einer Größe pro einer anderen Größe bezeichnet und somit auch nicht
isoliert stehen darf: M<\frac{\Delta x}{\Delta t}> ist zulässig, während
M<\Delta x \Delta t> im für uns üblichen Sinne nicht zulässig ist, da nicht
angegeben ist, auf welche anderen Größen sich M<\Delta x> und M<\Delta t>
jeweils beziehen.

=head5 Unendlich mal Null = von Null verschiedener endlicher Wert? [FORMAL]

Formal ist außerdem zu beachten, dass weder das Vorkommen von Null im Produkt
den Produktwert auf Null noch das Vorkommen von Unendlich den Produktwert auf
Unendlich zwingt: Hinter der schlampigen Schreibweise stecken
Grenzwertprozesse, die sich -- anschaulich gesprochen -- teilweise gegenseitig
aufheben.

Da wir aber keine Formeln für die Werte der Unschärfen haben, können wir diesen
Sachverhalt nicht näher analytisch untersuchen; das ist aber für das
grundlegende anschauliche Verständnis auch nicht notwendig.

=head4 "Unvollständige" Delokalisierung

=for latex
\vbox{\begin{multicols}{2}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
unset xtics
unset ytics
set xzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nPosition\n"
set ylabel "Ausschlag\n"
set xrange [ -40.000000 : 40.000000 ]
set yrange [ -2.150000 : 2.150000 ]

# Function definitions
func0(x) = sin(0.9 * x) + sin(1.1 * x)

# Plotting
plot func0(x) t "" w l lt 1

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nFrequenz\n"
set ylabel "Intensität\n"
set xrange [ -0.001000 : 10.000000 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

unset xtics
unset ytics

# Plotting
plot "<echo -e '4.7 0.7\\n5.3 0.7'" t "" w impulses lt 1

=hend

=for latex
}}

=for latex
\end{multicols}}

Man kann der vollständigen Delokalisierung Struktur hinzufügen. Dies modelliert
man dadurch, indem man statt genau einer Frequenz M<\hat f> ein diskretes
Frequenzspektrum um M<\hat f> nimmt, beispielsweise M<\hat f - \Delta f> und
M<\hat f + \Delta f>. (In diesem speziellen Fall kann M<\Delta f> nicht nur als
Standardabweichung, sondern auch unter dem für uns üblichen Sinn interpretiert
werden.)

Als Ton interpretiert, wird das Signal periodisch (mit Periodendauer M<1 /
\Delta f>) lauter und leiser ("Schwebung"). Es gibt also Momente, an denen das
Signal ganz verschwindet, also die Amplitude Null ist; dadurch hat man die
Strukturgebung erreicht.

=for latex
\begin{small}

Die Gesamtauslenkung ist also M<y = \sin \omega_1 x + \sin \omega_2 x>. Obwohl
die Frage nach den Nullstellen dieses Terms nicht leicht zu beantworten ist,
kann man zumindest einige Nullstellen -- die "Stummpunkte" -- analytisch
bestimmen.

M<x> ist nämlich dann ein "Stummpunkt", wenn beide Summanden zugleich Null sind.

Beispiel: M<f_1 = 440 \,\mathrm{Hz}; \quad f_2 = 441 \,\mathrm{Hz};>

Nach jeweils einer Sekunde haben beide Sub-Oszillatoren eine ganze Schwingung
vollendet; nach jeweils einer Sekunde sind beide Oszillatoren also wieder nicht
ausgelenkt.

=for latex
\end{small}

Bezogen auf die Unschärferelationen ist die Ortsunschärfe also nicht mehr
Unendlich; stattdessen aber ist jetzt der Impuls unscharf.

Über ein Elektron mit dieser Wellenfunktion könnte man zwar nicht sagen, wo es
sich manifestieren wird; es ist aber möglich,
Manifestationswahrscheinlichkeiten anzugeben: An den "Stummpunkten"
manifestiert es sich nie, und an den Punkten maximaler Amplitude am häufigsten.

=head4 "Nahezu vollständige" Delokalisierung

=for latex
\vbox{\begin{multicols}{2}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

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# Global settings
set samples 200
unset border
unset xtics
unset ytics
set xzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nPosition\n"
set ylabel "Ausschlag\n"
set xrange [ -10.000000 : 10.000000 ]
set yrange [ -25.0000 : 25.0000 ]

# Function definitions
func0(x) = sin((1.+0./10.)*x)+sin((1.-0./10.)*x)+sin((1.+1./10.)*x)+sin((1.-1./10.)*x)+sin((1.+2./10.)*x)+sin((1.-2./10.)*x)+sin((1.+3./10.)*x)+sin((1.-3./10.)*x)+sin((1.+4./10.)*x)+sin((1.-4./10.)*x)+sin((1.+5./10.)*x)+sin((1.-5./10.)*x)+sin((1.+6./10.)*x)+sin((1.-6./10.)*x)+sin((1.+7./10.)*x)+sin((1.-7./10.)*x)+sin((1.+8./10.)*x)+sin((1.-8./10.)*x)+sin((1.+9./10.)*x)+sin((1.-9./10.)*x)+sin((1.+10./10.)*x)+sin((1.-10./10.)*x)+sin((1.+11./10.)*x)+sin((1.-11./10.)*x)+sin((1.+12./10.)*x)+sin((1.-12./10.)*x)+sin((1.+13./10.)*x)+sin((1.-13./10.)*x)+sin((1.+14./10.)*x)+sin((1.-14./10.)*x)+sin((1.+15./10.)*x)+sin((1.-15./10.)*x)+sin((1.+16./10.)*x)+sin((1.-16./10.)*x)+sin((1.+17./10.)*x)+sin((1.-17./10.)*x)+sin((1.+18./10.)*x)+sin((1.-18./10.)*x)+sin((1.+19./10.)*x)+sin((1.-19./10.)*x)+sin((1.+20./10.)*x)+sin((1.-20./10.)*x)+sin((1.+21./10.)*x)+sin((1.-21./10.)*x)+sin((1.+22./10.)*x)+sin((1.-22./10.)*x)+sin((1.+23./10.)*x)+sin((1.-23./10.)*x)+sin((1.+24./10.)*x)+sin((1.-24./10.)*x)+sin((1.+25./10.)*x)+sin((1.-25./10.)*x)+sin((1.+26./10.)*x)+sin((1.-26./10.)*x)+sin((1.+27./10.)*x)+sin((1.-27./10.)*x)+sin((1.+28./10.)*x)+sin((1.-28./10.)*x)+sin((1.+29./10.)*x)+sin((1.-29./10.)*x)+sin((1.+30./10.)*x)+sin((1.-30./10.)*x)+sin((1.+31./10.)*x)+sin((1.-31./10.)*x)+sin((1.+32./10.)*x)+sin((1.-32./10.)*x)+sin((1.+33./10.)*x)+sin((1.-33./10.)*x)+sin((1.+34./10.)*x)+sin((1.-34./10.)*x)+sin((1.+35./10.)*x)+sin((1.-35./10.)*x)+sin((1.+36./10.)*x)+sin((1.-36./10.)*x)+sin((1.+37./10.)*x)+sin((1.-37./10.)*x)+sin((1.+38./10.)*x)+sin((1.-38./10.)*x)+sin((1.+39./10.)*x)+sin((1.-39./10.)*x)+sin((1.+40./10.)*x)+sin((1.-40./10.)*x)+sin((1.+41./10.)*x)+sin((1.-41./10.)*x)+sin((1.+42./10.)*x)+sin((1.-42./10.)*x)+sin((1.+43./10.)*x)+sin((1.-43./10.)*x)+sin((1.+44./10.)*x)+sin((1.-44./10.)*x)+sin((1.+45./10.)*x)+sin((1.-45./10.)*x)+sin((1.+46./10.)*x)+sin((1.-46./10.)*x)+sin((1.+47./10.)*x)+sin((1.-47./10.)*x)+sin((1.+48./10.)*x)+sin((1.-48./10.)*x)+sin((1.+49./10.)*x)+sin((1.-49./10.)*x)+sin((1.+50./10.)*x)+sin((1.-50./10.)*x)+sin((1.+51./10.)*x)+sin((1.-51./10.)*x)+sin((1.+52./10.)*x)+sin((1.-52./10.)*x)+sin((1.+53./10.)*x)+sin((1.-53./10.)*x)+sin((1.+54./10.)*x)+sin((1.-54./10.)*x)+sin((1.+55./10.)*x)+sin((1.-55./10.)*x)+sin((1.+56./10.)*x)+sin((1.-56./10.)*x)+sin((1.+57./10.)*x)+sin((1.-57./10.)*x)+sin((1.+58./10.)*x)+sin((1.-58./10.)*x)+sin((1.+59./10.)*x)+sin((1.-59./10.)*x)+sin((1.+60./10.)*x)+sin((1.-60./10.)*x)+sin((1.+61./10.)*x)+sin((1.-61./10.)*x)+sin((1.+62./10.)*x)+sin((1.-62./10.)*x)+sin((1.+63./10.)*x)+sin((1.-63./10.)*x)+sin((1.+64./10.)*x)+sin((1.-64./10.)*x)+sin((1.+65./10.)*x)+sin((1.-65./10.)*x)+sin((1.+66./10.)*x)+sin((1.-66./10.)*x)+sin((1.+67./10.)*x)+sin((1.-67./10.)*x)+sin((1.+68./10.)*x)+sin((1.-68./10.)*x)+sin((1.+69./10.)*x)+sin((1.-69./10.)*x)+sin((1.+70./10.)*x)+sin((1.-70./10.)*x)+sin((1.+71./10.)*x)+sin((1.-71./10.)*x)+sin((1.+72./10.)*x)+sin((1.-72./10.)*x)+sin((1.+73./10.)*x)+sin((1.-73./10.)*x)+sin((1.+74./10.)*x)+sin((1.-74./10.)*x)+sin((1.+75./10.)*x)+sin((1.-75./10.)*x)+sin((1.+76./10.)*x)+sin((1.-76./10.)*x)+sin((1.+77./10.)*x)+sin((1.-77./10.)*x)+sin((1.+78./10.)*x)+sin((1.-78./10.)*x)+sin((1.+79./10.)*x)+sin((1.-79./10.)*x)+sin((1.+80./10.)*x)+sin((1.-80./10.)*x)+sin((1.+81./10.)*x)+sin((1.-81./10.)*x)+sin((1.+82./10.)*x)+sin((1.-82./10.)*x)+sin((1.+83./10.)*x)+sin((1.-83./10.)*x)+sin((1.+84./10.)*x)+sin((1.-84./10.)*x)+sin((1.+85./10.)*x)+sin((1.-85./10.)*x)+sin((1.+86./10.)*x)+sin((1.-86./10.)*x)+sin((1.+87./10.)*x)+sin((1.-87./10.)*x)+sin((1.+88./10.)*x)+sin((1.-88./10.)*x)+sin((1.+89./10.)*x)+sin((1.-89./10.)*x)+sin((1.+90./10.)*x)+sin((1.-90./10.)*x)+sin((1.+91./10.)*x)+sin((1.-91./10.)*x)+sin((1.+92./10.)*x)+sin((1.-92./10.)*x)+sin((1.+93./10.)*x)+sin((1.-93./10.)*x)+sin((1.+94./10.)*x)+sin((1.-94./10.)*x)+sin((1.+95./10.)*x)+sin((1.-95./10.)*x)+sin((1.+96./10.)*x)+sin((1.-96./10.)*x)+sin((1.+97./10.)*x)+sin((1.-97./10.)*x)+sin((1.+98./10.)*x)+sin((1.-98./10.)*x)+sin((1.+99./10.)*x)+sin((1.-99./10.)*x)+sin((1.+100./10.)*x)+sin((1.-100./10.)*x)+0

# Plotting
plot func0(x) t "" w l lt 1

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nFrequenz\n"
set ylabel "Intensität\n"
set xrange [ -0.001000 : 10.000000 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

unset xtics
unset ytics

# Plotting
plot "<echo -e '4.4 0.7\\n4.5 0.7\\n4.6 0.7\\n4.7 0.7\\n4.8 0.7\\n4.9 0.7\\n5.0 0.7\\n5.1 0.7\\n5.2 0.7\\n5.3 0.7\\n5.4 0.7\\n5.5 0.7\\n5.6 0.7'" t "" w impulses lt 1

=hend

=for latex
}}

=for latex
\end{multicols}}

Greift man den strukturgebenden Gedanken wieder auf, setzt jedoch statt einem
Frequenzspektrum bestehend aus zwei Frequenzen sehr viele Frequenzen ein,
nimmt der Abstand zwischen den periodischen "Stummpunkten" immer mehr zu.

Vom ersten Beispiel beginnend ist die Frequenz also immer un­schär­fer und der
Ort immer schärfer geworden. Die Schärfe des Orts kann man in diesem Diagramm
daran erkennen, dass es viele Stellen gibt, an denen die Amplitude "klein" ist,
die Wahrscheinlichkeit, dass sich an dieser Stelle also das Elektron
manifestiert, ebenfalls klein ist.

Zur Erinnerung: Wäre das Elektron vollständig delokalisiert, wäre die
Manifestationswahrscheinlichkeit überall gleich groß.

=head4 Vollständige Lokalisierung

Mathematisch kann man dieses Verfahren fortsetzen und grenzwertig
Sinusfunktionen unendlich vieler Frequenzen überlagern. Das Ergebnis ist dann
ein Signal, dass nur an genau einer Stelle auftritt. An allen anderen Stellen
ist es Null.

=for latex
\vbox{\begin{multicols}{2}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
unset xtics
unset ytics
set xzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nPosition\n"
set ylabel "Ausschlag\n"
set xrange [ -40.000000 : 40.000000 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

# Plotting
plot "<echo -e '0 1'" t "" w impulses lt 1

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nFrequenz\n"
set ylabel "Intensität\n"
set xrange [ -0.001000 : 3.1415926535 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

unset xtics
unset ytics

# Plotting
plot 0.7 t "" w l lt 1

=hend

=for latex
}}

=for latex
\end{multicols}}

Dem entspricht eine vollständige Lokalisierung: Der Ort ist maximal scharf
(Unschärfe Null), die Frequenz ist maximal unscharf (Unschärfe unendlich).

M<\underbrace{\Delta f}_{\infty \,\mathrm{Hz}} \cdot \underbrace{\Delta t}_{0
\,\mathrm{s}} \geq c;>

M<\underbrace{\Delta p}_{\infty \,\mathrm{Ns}} \cdot \underbrace{\Delta x}_{0
\,\mathrm{m}} \geq c;>

Über ein Elektron mit dieser Wellenfunktion könnte man genau sagen, wo es sich
manifestieren wird. Es ist aber nicht möglich, seinen Impuls (und damit seine
Geschwindigkeit) anzugeben. Es ist nichteinmal möglich, einige mögliche Werte
des Impulses von anderen zu differenzieren -- alle haben die gleiche
Wahrscheinlichkeit.

=head3 Unschärferelation beim Doppelspalt

Senden wir eine Elektronenwelle auf einen Doppelspalt, lässt sich die
"Bewegung" in zwei Abschnitte gliedern: den, vor dem Spalt, und den, nach dem
Spalt.

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
6 1110 3270 1920 4110
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1110 3495 1785 3495
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1335 3270 1335 3945
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 90 1830 3555 z\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 90 1290 4110 x\001
-6
6 6345 285 7695 3435
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1110 6465 1860 Hauptmaxium\001
4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 1170 6465 2190 Nebenmaxima\001
4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 1170 6465 360 Nebenmaxima\001
-6
6 -2010 1965 -1050 2325
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 960 -2010 2100 Elektronen-\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 570 -2010 2325 sender\001
-6
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 -1125 1800 45 45 -1125 1800 -1080 1800
2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 2250 225 2250 1710
2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 2250 1890 2250 3375
2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 3
	 4950 225 4950 3375 4950 3375
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 450 900 450 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 675 900 675 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 900 900 900 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 1125 900 1125 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 1350 900 1350 2700
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 1485 1800 1935 1800
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 -900 1800 225 1800
3 2 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 0 15
	 4950 3375 5175 3150 4950 2925 5400 2700 4950 2475 5850 2250
	 4950 2025 6300 1800 4950 1575 5850 1350 4950 1125 5400 900
	 4950 675 5175 450 4950 225
	 0.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000
	 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 0.000
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 210 -435 1740 oo\001

=hend

=head4 Elektronenwelle vor dem Spalt

Vor dem Spalt sind die eintreffenden Elektronen in M<z>-Richtung delokalisiert;
die Elektronengeschwindigkeit, und damit der Impuls, ist (idealisiert) exakt
bekannt.

Auch in M<x>-Richtung ist das Elektronium delokalisiert -- der M<x>-Impuls ist
exakt Null.

=head4 Elektronenwelle nach dem Spalt

Der Teil der Welle, der den Doppelspalt durchlaufen konnte, ist weiterhin in
M<z>-Richtung delokalisiert, da sich die Elektronenwellengeschwindigkeit in
M<z>-Richtung nicht geändert hat (und da insbesondere ihre Unschärfe konstant
geblieben ist). (Natürlich ist bei einem realen Doppelspaltexperiment der Ort
nicht vollständig delokalisiert, da er wohl kaum über den Versuchsaufbau
hinausragt. Idealisiert nehmen wir daher an, dass Spalt und Schirm unendlich
ausgedehnt sind.)

Der M<x>-Impuls hingegen ist nach dem Spalt unscharf -- schließlich wird auf
dem Schirm ein Interferenzmuster erzeugt, es manifestieren sich ja pro
Messfläche, der Verteilung der Maxima entsprechend, unterschiedlich viele
Elektronen pro Zeiteinheit.

Die Impulserhaltung wird dabei nicht verletzt, da die
Ma­ni­fes­ta­tions­wahr­schein­lich­keit--M<x>-Kurve achsensymmetrisch ist. Bildlich
gesprochen gibt es zu jedem Elektron, das sich unten manifestiert, eins, das
sich entsprechend oben manifestiert.

Die Impulserhaltung ist sogar dann nicht verletzt, wenn man die "Elektronen"
einzeln durch den Doppelspalt schickt: Dann tritt näm­lich der Festkörper als
Impulsaustauschpartner auf.

(Beim Doppelspaltexperiment deswegen davon zu sprechen, dass sich Elektronen am
Spalt stoßen und daher abgelenkt werden, ist aber natürlich nur solange
zulässig, solange man selbst (und alle anderen am Gespräch Beteiligten) wissen,
was eigentlich gemeinst ist; "man darf beliebig schlampig sprechen", solange
der Sinn allen klar ist.)

=head3 Fragen

=head4 Nullpunkte eine Besonderheit?

Inwiefern unterscheiden sich die "Stummpunkte" der Schwebungszustände von den
normalen Nullpunkten, die während jeder voll­stän­di­gen Periode zweimal
auftreten?

Die einen scheinen strukturgebend zu sein, während die anderen keine
physikalischen Konsequenzen haben.

=head5 Mögliche Lösung

Man wird wohl eine Funktion definieren müssen, die jedem M<x>-Wert den Wert der
"theoretisch erreichbaren" Amplitude zuordnet, vergleichbar mit einer
Einhüllenden:

=for latex
\vbox{\begin{multicols}{2}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title "Vollständige Delokalisierung"
set xlabel "\nPosition\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ -2.001000 : 15 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

unset xtics
unset ytics

# Plotting
plot \
  sin(x*3.) * 1 t "" w l lt 1, \
  1             t "" w l lt 2, \
  -1            t "" w l lt 2

=hend

=for latex
}}\par{}

=for latex
\scalebox{0.55}{\vbox{

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 10 Nov 2006 17:19:14 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title "\"Strukturierte\" Delokalisierung"
set xlabel "\nPosition\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ -2.001000 : 15 ]
set yrange [ -1.150000 : 1.150000 ]

unset xtics
unset ytics

# Plotting
plot \
  sin(x*10.) * sin(x) t "" w l lt 1, \
  abs(sin(x))         t "" w l lt 2, \
  -abs(sin(x))        t "" w l lt 2

=hend

=for latex
}}

=for latex
\end{multicols}}

Dann interpretiert man nicht den Wert der eigentlichen Funktion als Maß für die
Manifestationswahrscheinlichkeit, sondern den Wert der
begrenzenden/einhüllenden Funktion.

Diese mögliche Lösung scheint mit allen angesprochenen Fällen konsistent zu
sein; aber eine Rechtfertigung, wieso die restlichen,
nicht-"Stummpunkt"-Nullstellen nicht relevant sind, ist sie sicherlich nicht.

=head4 Wechsel des Impulsaustauschpartners -- qualitativer Unter­schied?

Treffen viele Elektronen pro Sekunde auf den Doppelspalt, ist die
Impulserhaltung dadurch erfüllt, dass sich -- bildlich gesprochen -- "je ein
Elektron oben und je ein Elektron unten manifestiert".

Treffen die Elektronen "einzeln" auf den Spalt, so ist dagegen der Festkörper
Impulsaustauschpartner.

Nun gibt es ja aber zwischen diesen beiden Szenarien nur einen quantitativen,
keinen qualitativen, Unterschied: Im ersten Fall treffen viele hundertausend
Elektronen pro Sekunde, im zweiten nur einige zehn pro Sekunde auf den Spalt.

Aber der Impulsaustauschpartner ändert sich qualitativ! Im ersten Fall sind es
andere Elektronen, im zweiten Fall der Festkörper.

=head5 Mögliche Lösungen

=over

=item a)

Als Lösung wäre denkbar, dass -- stochastisch verteilt -- andere Elektronen und
der Festkörper Impulsaustauschpartner sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass der
Festkörper Partner ist, ist dann im zweiten Fall sehr groß, während sie im
ersten Fall sehr klein ist.

Damit hätte die quantitative Änderung der Anzahl der Elektronen pro Sekunde
auch eine quantitative Konsequenz, nämlich die Änderung der Wahrscheinlichkeit,
mit dem Festkörper Impuls auszutauschen anstatt mit anderen Elektronen.

=item b)

Alternativ wäre denkbar, dass der Impulserhaltungssatz nicht für jedes
Elementarereignis gilt/angewendet werden kann/be­trach­tet werden darf, sondern
dass er nur durchschnittlich gilt: M<E(\Delta p) = 0 \,\mathrm{Ns};>

=back

=head4 Ortsunschärfe nach dem Spalt?

Da ja nach dem Spalt der Elektronenimpuls unscharf ist, kann die Ortsunschärfe
abnehmen; die Unschärferelation würde dabei nicht verletzt werden. (Es besteht
aber kein Zwang, dass die Ortsunschärfe abnimmt -- es heißt ja M<\Delta x
\Delta p E<gt> c>, nicht M<\Delta x \Delta p = c>.)

Nimmt die Ortsunschärfe tatsächlich ab? Wenn ja, inwiefern?

=head4 Negative Frequenzen? [FORMAL]

Bei einer grenzwertig unendlichen Frequenzunschärfe mit Erwartungswert M<\hat
f> müssten ja im Spektrum auch negative Frequenzen vorkommen. Ist das nicht
problematisch, da Frequenzen ja immer positiv (oder zumindest nichtnegativ)
sein müssen?

=head4 Übliche Bezeichnung für die "Stummpunkte"? [FORMAL]

Was ist die übliche Bezeichnung für die M<x>-Werte, die ich "Stummpunkte"
genannt habe? (Die Bezeichnung "Stummpunkt" hat den Nachteil, dass sie
begrifflich mit Tönen bzw. Schallwellen verbunden ist. Die Bezeichnung schließt
also eine allgemeinere Verwendung aus.)