=for timestamp
Mo Nov 20 17:26:47 CET 2006

=head2 121. Hausaufgabe

=head3 Exzerpt von B. S. 408: BOHRsche Postulate

=over

=item 1.

I<Quantenbedingung>: Der Bahndrehimpuls ist gequantelt.

Da der Drehimpuls in der Schule nicht behandelt wird, können wir zur
Quantenbedingung nicht mehr sagen.

=item 2.

I<Frequenzbedingung>: Ein Bahnübergang erfolgt durch Absorption oder Emission
eines Photons mit passender Energie M<E_m - E_n>.

=back

Anschaulich kreisen im BOHRschen Atommodell die Elektronen auf bestimmten,
kreisförmigen Bahnen um die Atomkerne. Obwohl sie dabei eigentlich ständig
beschleunigen (da sich der Geschwindigkeitsvektor ändert), verlieren sie keine
Energie durch Strahlung.

Die Elektronen fallen deswegen nicht in den Atomkern, da die elektrische
Anziehungskraft als Zentripetalkraft genutzt wird.

=head3 Exzerpt von B. S. 408f.: Energie

Die Gesamtenergie eines Elektrons auf der M<n>-ten Bahn ist

M<E_n = E_{\text{pot},n} + E_{\text{kin},n};>

=head4 Potenzielle Energie

Zur Herleitung der potenziellen Energie M<E_{\text{pot},n}> nutzen wir das
COULOMBpotenzial. Die eine Ladung wird vom Elektron (M<-e>), die andere vom
Kern getragen. Für das Wasserstoffatom gilt:

M<E_{\text{pot},n} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\left(-e\right) \cdot
e}{r_n} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n};>

Dabei bezeichnet M<r_n> den Abstand des Elektrons vom Kern.

=head4 Kinetische Energie

Die kinetische Energie kann über die Beziehung M<F_{\text{Zentripetal}} =
F_{\text{Elektr.}}> herleiten:

M<\frac{m_e {v_n}^2}{r} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2};>

Ausnutzung von M<r_n m_e v_n = \frac{n h}{2 \pi}> liefert:

M<v_n = \frac{1}{2 \varepsilon_0 h} \frac{e^2}{n};>

Mit bekanntem M<v_n> ist auch der Bahnradius bestimmbar:

M<r_n = \frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e} \frac{n^2}{e^2};>

Außerdem können wir die kinetische Energie ausrechnen:

M<E_{\text{kin},n} = \frac{1}{2} m_e \frac{1}{4 {\varepsilon_0}^2 h^2} \frac{e^4}{n^2};>

=head4 Gesamtenergie

Damit ist Gesamtenergie M<E_n = E_{\text{pot},n} + E_{\text{kin},n}>:

M<E_n = -\frac{1}{8} \frac{m_e e^4}{\varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} = E_1 / n^2;>

=head3 Fragen

=over

=item *

Erfolgt im BOHRschen Atommodell der Bahnübergang stetig oder sprunghaft?

=item *

Hat die Negativität der Gesamtenergie eine physikalische Bedeutung? (Da durch
Messungen ja eh nur Energiedifferenzen zugänglich sind, vermute ich das
Gegenteil.)

=back

(Benötigte Zeit: 44 min)