=for timestamp
Fr Okt 14 15:35:26 CEST 2005

=head2 13. Hausaufgabe

=head3 Zusammenfassung der Seiten 194--197

=over

=item Flächenladungsdichte

Versuche legen die Vermutung nahe, dass der Quotient aus felderzeugender Ladung
M<Q> und der Fläche der Kondensatorplatten M<A> proportional zur elektrischen
Feldstärke M<\mathcal{E}> ist. Die Proportionalitätskonstante M<\varepsilon_0>
heißt elektrische Feldkonstante und beträgt M<8{,}8542 \cdot 10^{-12}
\,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}\mathrm{m}}>.

M<\frac{Q}{A} = \varepsilon_0 \mathcal{E};>

=item Möglichkeit zur Bestimmung der Feldstärke eines Feldes

Bringt man zwei sich berührende, gleich große, kleine Metallplatten an
Isoliergriffen in ein elektrisches Feld, so stellt sich wegen elektrischer
Influenz ein Ladungsungleichgewicht ein: positive und negative Ladungen trennen
sich und befinden sich dann auf jeweils einer Platte.

Insgesamt betrachtet sind die zwei Platten natürlich noch neutral, da sich die
Ladung M<Q> der einen Platte mit der Ladung M<-Q> der anderen Platten
ausgleicht. Wenn man nun aber die beiden Platten -- noch innerhalb des Feldes
-- trennt und dann -- auch außerhalb des Feldes -- die auf einer Platte
befindliche Ladung M<Q> misst, kann man auch die elektrische Feldstärke
M<\mathcal{E}> bestimmen:

M<\frac{Q}{A} = \varepsilon_0 \mathcal{E}; \Rightarrow \mathcal{E} =
\frac{1}{\varepsilon_0} \frac{Q}{A};>

Dabei bezeichnet M<A> die Größe der Metallplatten.

Obwohl man diese Möglichkeit der Feldstärkenbestimmung streng genommen nur in
homogenen Feldern anwenden darf, kann man sie, wenn man sehr kleine
Metallplatten nimmt, auch auf inhomogene Felder übertragen, mit der Begründung,
dass inhomogene Felder in einem genügend kleinen Raum annähernd homogen sind.
Auf diese Weise arbeiten auch Elektrofeldmeter.

=item Das COULOMBsche Gesetz

Durch verschiedene Versuche ergibt sich ein Gesetz, welches die elektrische
Kraft M<F_{\text{el}}> beschreibt, mit der sich zwei geladene Körper mit den
Ladungen M<Q_1> und M<Q_2>, die sich im Abstand M<r> zueinander befinden,
anziehen:

M<F_{\text{el}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2};>

Bemerkenswerterweise fällt eine deutliche Ähnlichkeit mit dem NEWTONschen
Gravitationsgesetz auf:

M<F_{\text{grav}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2};>

Die beiden Gesetze unterscheiden sich also nur in ihren Konstanten und darin,
ob Massen oder Ladungen in die Rechnung mit eingehen.

=item Potenzial im Radialfeld einer Ladung

Das Potenzial M<\varphi(r)> im Radialfeld einer Ladung M<Q>, wobei als
Bezugspunkt "das Unendliche" genommen wird, berechnet sich durch

M<\varphi(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r};>

=back

=head3 Buch Seite 197, Aufgabe 1

Berechnen Sie die Kraft, mit der sich zwei gleich geladene Körper mit der
Ladung a) M<Q = 35 \,\mu\mathrm{C}> im Abstand M<r = 12 \,\mathrm{cm}> und b)
M<Q = 1 \,\mathrm{C}> im Abstand M<r = 1 \,\mathrm{m}> abstoßen.

=over

=item a)

M<F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2} = 0{,}76 \,\mathrm{kN};>

=item b)

M<F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2} = 9{,}0 \cdot 10^9
\,\mathrm{N};>

=back

=head3 Buch Seite 197, Aufgabe 2

Der Abstand zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom sei M<d = 10^{-10}
\,\mathrm{m}>. Das Proton trägt die Ladung M<Q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}
\,\mathrm{C}>, das Elektron eine gleich große negative.

=over

=item a)

Wie groß ist die COULOMBkraft, mit der sich die beiden Teilchen anziehen?

M<F_{\text{el}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{d^2} = 2{,}3 \cdot
10^{-8} \,\mathrm{N};>

(Zentripetalbeschleunigung M<a = \frac{F}{m} \gg g>)

=item b)

Wie groß ist die Gravitationskraft zwischen den beiden Teilchen?
(M<m_{\mathrm{p}} = 1{,}7 \cdot 10^{-27} \,\mathrm{kg}>, M<m_{\mathrm{e}} =
9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\mathrm{kg}>)

M<F_{\text{G}} = G \frac{m_{\mathrm{p}} m_{\mathrm{e}}}{d^2} = 1{,}0 \cdot
10^{-47} \,\mathrm{N};>

=item c)

In welchem Verhältnis stehen elektrostatische Anziehungskraft und
Gravitationskraft? Hängt das Verhältnis vom Abstand der Teilchen ab?

M<\frac{F_{\text{el}}}{F_{\text{G}}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 G}
\frac{Q^2}{m_{\mathrm{p}} m_{\mathrm{e}}} = 10^{39};>

Das Verhältnis hängt nicht vom Abstand der Teilchen ab.

=back

=head3 Buch Seite 197, Aufgabe 3

Zwei Punktladungen M<Q_1 = 2 \,\mathrm{C}> und M<Q_2 = 8 \,\mathrm{C}> haben
den Abstand M<d = 1 \,\mathrm{m}>. In welchem Punkt ist die Feldstärke Null?

M<\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 q}{r_1^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}
\frac{Q_2 q}{\left(d - r_1\right)^2}; \Rightarrow r_{a,b} = \ldots;>

M<\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{Q_1}{Q_2};> (folgt aus M<F(r) =
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2} = \mathcal{E} q;>)

(Benötigte Zeit: 63 min)