=for timestamp
Fr Jan 12 15:47:27 CET 2007

=head2 133. Hausaufgabe

=head3 Erklärung des Bilds 427.1 (Manifestationswahrscheinlichkeit in
Abhängigkeit der Entfernung vom Kern)

Im Bild 427.1 ist die Manifestationswahrscheinlichkeit M<w(r)> von Elektronen
in Abhängigkeit der Entfernung zum Kern, M<r>, der als punktförmig modelliert
wird.

Der Kurvenverläuf lässt vermuten, dass die Manifestationswahrscheinlichkeit
direkt am Kern Null ist, mit wachsender Entfernung zunimmt, ihr Maximum bei
etwa M<r = 0{,}5 \cdot 10^{-10} \,\mathrm{m}> erreicht und dann abfällt.
M<w(r)> scheint für M<r \to \infty> Null zu sein.

Übertragen auf die Elektroniumdichte könnte man aus diesem Kurvenverlauf
schließen, dass Elektronium habe beim Kern eine Dichte von M<0
\,\frac{\text{Wahrscheinlichkeit}}{\mathrm{m}^3}>, und nimmt dann, genau wie
der Kurvenverlauf es beschreibt, zu, ist dann maximal und nimmt dann wieder ab,
mit der M<r>-Achse als Asymptote.

Das ist allerdings falsch, M<w(r) \neq w(x,y,z)>: M<w(r)> ergibt sich zwar aus
M<w(x,y,z)> (für bestimmte M<x,y,z>), aber es ergibt sich ein zusätzlicher
Faktor, der das Ergebnis erheblich qualitativ verfälscht.

Für auf der Hüllkugeloberfläche M<A(r)> konstantes M<w(x,y,z)> ergibt sich nämlich:

M<w(r) = \iint w(x,y,z) \,\mathrm{d}A(r) = 4 \pi r^2 \cdot w>

Ist M<w(x,y,z)>, können wir das Integral nicht mehr selbst berechnen; der
Faktor M<r^2> bleibt aber erhalten.

Den Unterschied zwischen M<w(x,y,z)> und M<w(r)> kann man an dem einfachen
Beispiel M<w(x,y,z) = c> für alle M<x,y,z> erkennen:

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Fri, 12 Jan 2007 17:26:17 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\n\n"
set ylabel "Wahrscheinlichkeit\n"
set xrange [ -0.001000 : 2.000000 ]
set yrange [ -0.001000 : 10.000000 ]
set grid
set xtics 100.000000
set ytics 100.000000

# Function definitions
func0(x) = 3.
func1(x) = 3.*x**2.

# Plotting
plot func0(x) t "w(x,y,z)" w l lt 1, func1(x) t "w(r)" w l lt 2

=hend

(Benötigte Zeit: 41 min)