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So Feb  4 17:33:08 CET 2007

=head2 143. Hausaufgabe

=head3 Exzerpt von B. S. 503f.: Motivation des Tröpf­chen­mo­dells

Die experimentellen Befunde, wie beispielsweise die Abhängigkeit der
Bindungsenergie von der Massenzahl (Abb. 503.1), möchte man quantitativ
beschreiben können.

Wie auch bei Flüssigkeitströpfchen wirken bei Kernen Kernkräfte unter
Nukleonen, und zwar messbar nur unter "benachbarten" Nukleonen. Diese
Erkentnisse motivieren dazu, Atomkerne als Flüs­sig­keits­tröpf­chen zu
modellieren -- die Kräfteverhältnisse bei Atomkernen und
Flüs­sig­keits­tröpf­chen ähneln sich sehr.

=head3 Exzerpt von B. S. 504: Annäherung durch drei Energieterme

Drei Energieterme genügen, um die M<E/A>--M<A>-Kurve akkurat wiedergeben zu
können.

=head4 Volumenenergie

Man modelliert Kerne als inkompressibel; alle Kerne haben dieselbe Dichte.
Daraus folgt, dass die Volumenenergie M<E_{\text{V}}> zur Massenzahl M<A>
(nicht zu verwechseln mit der Oberfläche!) proportional ist.

M<E_{\text{V}} \sim \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(r_0
A^{1/3}\right)^3;> (M<r_0> ist der Radius eines Nukleons)

M<E_{\text{V}} = a A;>

=head4 Oberflächenenergie

Es würde Energie kosten, die Grenzfläche zwischen Nukleonen zu überwinden.
Diese Oberflächenenergie ist zur Kernoberfläche proportional.

M<E_{\text{O}} \sim 4 \pi r^2 = 4 \pi \left(r_0 A^{1/3}\right)^2;>

M<E_{\text{O}} = b A^{2/3};>

=head4 COULOMBenergie

In Atomkernen steckt auch Energie in der "elektrostatischen Anziehung", genauer
im M<\mathcal{E}>-Feld. Die COLUMNBenergie ist indirekt proportional zum
Radius.

M<E_{\text{C}} \sim \frac{Ze \cdot Ze}{r} = \frac{Z^2 e^2}{r_0 A^{1/3}};>

M<E_{\text{C}} = c Z^2 / A^{1/3};>

=head3 Exzerpt von B. S. 504: Ausdruck der Bindungsenergie durch die drei
Energieterme

M<E_{\text{B}} = E_{\text{V}} - \left(E_{\text{O}} + E_{\text{C}}\right) = a A
- b A^{2/3} - c Z^2 A^{-1/3};>

Oberflächenenergie und COULOMBenergie sind Energien, die sich aus (dem Integral
über) abstoßende Kräfte ergeben; dementsprechend ordnet man ihnen ein negatives
Vorzeichen zu. Die Volumenenergie geht positiv in die Bilanz ein.

Man kann über die Näherung M<Z \approx 0{,}45 \, A> die Abhängigkeit von
M<E_{\text{B}}> von M<Z> entfernen:

M<E_{\text{B}} \approx a A - b A^{2/3} - c' A^{4/3};>

Die Bindungsenergie pro Nukleon ergibt sich damit zu:

M<E_{\text{B}}/A \approx a - b A^{-1/3} - c' A^{1/3};>

=head3 Exzerpt von B. S. 504: Die Konstanten M<a>, M<b> und M<c> (bzw. M<c'>)

Die Proportionalitätskonstanten M<a>, M<b> und M<c> (bzw. M<c'>) wurden
empirisch auf M<a = 14 \,\mathrm{MeV}>, M<b = 13 \,\mathrm{MeV}> und M<c' =
0{,}12 \,\mathrm{MeV}> bestimmt. Mit M<c' = \left(0{,}45\right)^2 c> ergibt
sich M<c> zu M<c = 0{,}59 \,\mathrm{MeV}>.

=head3 Exzerpt von B. S. 504f.: Erweiterung des Tröpf­chen­mo­dells

Man kann das Tröpfchenmodell noch erweitern, indem man Terme für die
Berücksichtigung des Neutronenüberschusses und der Paarbildung von Protonen und
Neutronen hinzufügt.

Die Motivation hinter dieser Erweiterung liegt in dem Problem, dass ohne die
Erweiterung der Stabilitätsunterschied zwischen gg- und uu-Kernen nicht
wiedergespiegelt wird.

=head3 Fragen

=over

=item *

Kann man die empirisch ermittelten Konstanten M<a>, M<b> und M<c> (bzw. M<c'>)
auf "fundamentalere" Naturkonstanten zu­rück­füh­ren?

=item *

Wie kann man sich die Volumenenergie vorstellen? Die COULOMBenergie ist an die
COULOMBkraft bzw. an das COULOMBpotenzial gebunden, und die Oberflächenenergie
ergibt sich daraus, dass die Überwindung der Grenzflächen Energie kosten würde.
Aber mir ist nicht klar, an was die Volumenenergie gebunden ist.

=item *

Was ist die zur Oberflächenenergie gehörende Kraft? Also über welches M<F>
integriert man beim Ausdruck M<\int F \,\mathrm{d}r = E_{\text{O}}>?

=back

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