=for timestamp
Do Feb  8 15:49:17 CET 2007

=head2 145. Hausaufgabe

=head3 Exzerpt von B. S. 500f.: Gesetz des radioaktiven Zerfalls

=head4 Stochastische Herleitung des Zerfallsgesetzes

Die gemessene Impulsrate von radioaktiven Präparaten nimmt mit der Zeit
exponentiell ab. Dieses Verhalten kann man stochastisch wie folgt modellieren:

Man denkt sich das Präparat aus Teilchen bestehend. Pro Zeiteinheit M<\Delta t>
zerfällt jedes dieser Teilchen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
M<\left(1-p\right)>. Damit kann man einen Term für M<N(t)>, also für die Anzahl
der nicht-zerfallenen Teilchen nach Verstreichen der Zeit M<t>, herleiten:

=over

=item *

M<N(0 \,\mathrm{s}) = N_0;>

=item *

M<N(\Delta t) = N_0 \cdot p;> (Erwartungswert der Trefferanzahl bei einer
BERNOULLIkette der Länge M<N_0> und der Trefferwahrscheinlichkeit M<p>)

=item *

M<N(2 \Delta t) = \left(N_0 \cdot p\right) \cdot p = N_0 p^2;>

=item *

M<N(3 \Delta t) = \left(N_0 \cdot p^2\right) \cdot p = N_0 p^3;>

M<\vdots>

=item *

M<N(k \Delta t) = N_0 p^k;>

=back

Die Formel der letzten Zeile kann man umformen zu M<N(t) = N_0 p^{t/\Delta t}>.

=head4 Charakterisierungsmöglichkeiten

Mit einem Zerfallsgesetz M<N(t) = N_0 p^{t/\Delta t}> mit entsprechendem
Parameter M<p/\Delta t> kann jeder radioaktive Zerfall (von spontaner
Kernfission abgesehen) treffend beschrieben werden.

=head5 Halbwertszeit

Oft ist es praktischer, nicht M<p> und M<\Delta t> als Basis zu verwenden,
sondern andere charakteristische Größen. So kann man beispielsweise die
Überlebenswahrscheinlichkeit M<p> pro Zeiteinheit M<\Delta t> in eine
Halbwertszeit M<\tau> überführen:

M<N(t) = N_0 p^{t/\Delta t} \stackrel{!}{=} N_0 2^{-t/\tau};> ⇔

M<p^{t/\Delta t} = 2^{-t/\tau};> ⇔

M<\frac{t}{\Delta t} \operatorname{ld} p = -\frac{t}{\tau};> ⇔

M<\tau = -\underbrace{\frac{1}{\operatorname{ld} p}}_{E<lt> 0} \Delta t;> (M<\tau E<gt> 0>)

=head5 M<1/e>-wertszeit

Allgemeiner kann man nicht nur die Halbwertszeit zur Charakterisierung nutzen,
sondern auch Zeiten zu anderen Basen. Besonders beliebt ist dabei die
M<1/e>-wertszeit:

M<N(t) = N_0 p^{t/\Delta t} \stackrel{!}{=} N_0 e^{-t/\kappa};> ⇔

M<\kappa = -\underbrace{\frac{1}{\ln p}}_{E<lt> 0} \Delta t;> (M<\kappa E<gt>
0>)

=head5 Zerfallskonstante

Alternatv kann man auch den Kehrwert M<\lambda> der M<1/e>-wertszeit M<\kappa>,
M<\lambda = \frac{1}{\kappa}>, zur Beschreibung nutzen:

M<N(t) = N_0 e^{-\lambda t};>

=head4 Aktivität

Über Messungen direkt zugänglich ist nicht die Anzahl der nicht-zerfallenen
Teilchen M<N(t)>, sondern lediglich die Impulsrate M<n(t)>, also die Anzahl
radioaktiver Zerfälle pro Zeiteinheit.

Da mit einem detektierbaren Abstrahlereigniss immer auch genau ein Zerfall
verknüpft ist, gibt M<n(t)> einfach die (negative) Änderung der Anzahl
nicht-zerfallener Teilchen, M<N(t)>, an:

M<n(t) = -A(t) = -\dot N(t) = -N_0 e^{-t/\kappa} \cdot
\left(-\frac{1}{\kappa}\right) = \frac{N_0}{\kappa} e^{-t/\kappa} =
\frac{1}{\kappa} N(t);>

Analog ist die Situation bei der Entladung eines Kondensators: Direkt messbar ist nur
der Entladestrom M<I(t) = \dot Q(t)>, nicht aber die Ladung M<Q(t)> des
Kondensators.

[XXX: Impulsrate ist die Rate, die bspw. in einem Zählrohr gemessen wird --
also nicht die gesamte Anzahl radioaktiver Zerfälle, sondern nur der Anteil,
der in die Richtung des Zählrohrs geht (Hüllkugel etc.)]

(Benötigte Zeit: 62 min)