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Di Okt 18 19:27:02 CEST 2005

=head2 15. Hausaufgabe

=head3 Buch Seite 201 nach "M<F = Dx>" übertragen

Dehnen einer Feder bedeutet mechanische Arbeit. Es soll nun die Energie
berechnet werden, die von der Quelle mechanischer Arbeit während des Dehnens
geliefert wird. Zur Vereinfachung stellt man sich vor, dass man die Dehnung
schrittweise aufbaut, jeweils in gleichen Teillängen M<\Delta x>. Für die erste
Dehnung braucht keine Energie aufgebracht zu werden, da die Feder noch nicht
gespannt ist. Danach wird die Teilenergie

M<\Delta W_i = F_i \Delta x>

mit
zunehmender benötigter Kraft M<F_i> immer größer. Die gesamte Energie erhält
man angenähert durch Addition der Teilenergien für die einzelnen M<\Delta x>,
genauer durch Integration:

M<W_{\text{ges}} = \lim\limits_{i \to \infty} \sum\limits_i^{i_{\text{ges}}}
F_i \Delta x = \int\limits_0^{x_{\text{ges}}} F \,\mathrm{d}x>.

Die darin vorkommende Kraft hängt nach M<F = Dx> von der jeweils schon
vorhandenen Dehnung M<x> ab. Damit erhält man

M<W_{\text{ges}} = D \int\limits_0^{x_{\text{ges}}} F \,\mathrm{d}x> und kann
integrieren:

M<W_{\text{ges}} = \frac{1}{2} D x_{\text{ges}}^2>.

Mit M<x_{\text{ges}} = \frac{F_{\text{ges}}}{D}> kann man den Ausdruck auch
umformen:

M<W_{\text{ges}} = \frac{1}{2} F_{\text{ges}} x_{\text{ges}} \quad> oder
M<\quad W_{\text{ges}} = \frac{1}{2} \frac{F_{\text{ges}}^2}{D}>.

Dieses Ergebnis ist wegen des linearen Zusammenhangs von M<F> und M<x> auch
ohne Integration bereits aus der Zeichnung als Flächeninhalt des Dreiecks unter
der M<F>-M<x>-Geraden ablesbar: M<W = \frac{1}{2} F x>.

Damit ist die Energie berechnet worden, die man beim Dehnen einer Feder der
Federhärte M<D> aufbringen muss. Diese Energie ist dann in der Feder als
potentielle Energie gespeichert.

=over

Die potentielle  Energie einer um die Länge M<x> gedehnten Feder der Federhärte
M<D> ist

M<W_{\text{pot}} = \frac{1}{2} D x^2 = \frac{1}{2} F x = \frac{1}{2}
\frac{F^2}{D}>.

=back

Es macht auch Sinn, von einer Energiedichte innerhalb der Feder zu sprechen.

=over

Die Energiedichte M<\varrho_{\text{pot}}> an einem Ort der Feder ist der
Quotient aus der Energie M<\Delta W>, die die Feder an diesem Ort in einem
umgebenden Volumen M<\Delta V> enthält, und dem Volumen M<\Delta V>:

M<\varrho_{\text{pot}} = \frac{\Delta W}{\Delta V} = \frac{\frac{1}{2}Dx^2}{\pi
r^2 l}>.

=back

(Benötigte Zeit: 49 min)