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Mi Okt 19 14:58:13 CEST 2005

=head2 16. Hausaufgabe

=head3 Buch Seite 187, Aufgabe 5

Ein Elektron werde mit einer Anfangsgeschwindigkeit von M<v = 3000
\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}> in Richtung eines homogenen elektrischen
Feldes mit der Feldstärke M<\mathcal{E} = 1 \,\frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{C}}> geschossen.
Wie weit bewegt sich das Elektron, bevor es vollständig abgebremst ist und
ruht (M<m_{\text{e}} = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\mathrm{kg}>, M<q_{\text{e}} =
1{,}6 \cdot 10^{-19} \,\mathrm{C}>)?

M<\frac{1}{2}m_{\text{e}}v^2 = q{\text{e}} \mathcal{E} s; \Rightarrow s =
\frac{m_{\text{e}} v^2}{q_{\text{e}} \mathcal{E}} = 5 \,\mathrm{cm};>

=head3 Buch Seite 201, Aufgabe 1

Welche Energie speichert ein Plattenkondensator (M<A = 314 \,\mathrm{cm}^2>,
M<d = 0{,}5 \,\mathrm{mm}>, Diaelektrikum mit M<\varepsilon_{\text{r}} = 7>)
bei einer Sapnnung von M<U = 220 \,\mathrm{V}>?

M<W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0
\frac{A}{d} U^2 = 1 \cdot 10^{-5} \,\mathrm{J};>

=head3 Buch Seite 201, Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass im radialsymmetrischen Feld die Energiedichte mit der 4.
Potenz des Abstandes abnimmt.

M<\varrho_{\text{el}} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0
\mathcal{E}^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0
\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\right)^2 =
\frac{\varepsilon_{\text{r}} \varepsilon_0 Q^2}{2 \cdot 16\pi^2\varepsilon_0^2
r^4} = \frac{\varepsilon_{\text{r}} Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 r^4};>

⇒ M<\varrho_{\text{el}} \sim \frac{1}{r^4};>

=head3 Buch Seite 201, Aufgabe 3

Welche Energiedichte kann ein elektrisches Feld in feuchter Luft höchstens
haben, wenn es bei einer Feldstärke von M<\mathcal{E} = 2
\,\frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{m}}> zum Funkenüberschlag kommt? Berechnen Sie die
Spannung, die man unter dieser Voraussetzung an einen luftgefüllten
Plattenkondensator mit einem Plattenabstand von M<d = 4 \,\mathrm{mm}>
höchstens legen kann.

M<\varrho_{\text{el},\text{max}} =
\frac{1}{2}\varepsilon_{\text{r},\text{Luft}}\varepsilon_0\mathcal{E}^2 = 2
\cdot 10^1 \,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^3};>

M<\mathcal{E} = \frac{U}{d}; \Rightarrow U = \mathcal{E} d = 8 \,\mathrm{kV};>

=head3 Buch Seite 201, Aufgabe 4

Wie groß müsste die Plattenfläche eines luftgefüllten Plattenkondensators sein,
der bei einem Plattenabstand von M<d = 1 \,\mathrm{mm}> und einer Spannung von
M<U_{\text{Kond.}} = 220 \,\mathrm{V}> die gleiche Energie speichert wie eine
Bat. von M<U_{\text{Bat.}} = 12 \,\mathrm{V}> und M<Q_{\text{Bat.}} = 88
\,\mathrm{Ah}>?

M<W_{\text{Kond.}} = W_{\text{Bat.}}; \Rightarrow \frac{1}{2}CU^2 = \frac{1}{2}
\varepsilon_0 \frac{A}{d} U_{\text{Kond.}}^2 = U_{\text{Bat.}}
Q_{\text{Bat.}};>

⇒ M<A = \dfrac{2 U_{\text{Bat.}} Q_{\text{Bat.}} d}{\varepsilon_0
U_{\text{Kond.}}^2} = 2 \cdot 10^{10} \,\mathrm{m}^3;>

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