=for timestamp
Di Nov  8 17:45:17 CET 2005

=head2 18. Hausaufgabe

=head3 Potenzial- und Kraftfeld einer geladenen Kugel

Das Kraftfeld einer elektrisch geladenen Kugel, vereinfacht auf eine einzige
Raumrichtung, ergibt sich zu:

M<F(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q q}{r^2};>

Trägt man dieses Feld in einem Koordinatensystem auf, erhält man wegen M<F \sim
\frac{1}{r^2}> eine Hyperbel zweiter Ordnung.

Integriert man nun M<F> nach der Entwernung M<r>, so erhält man das
Potenzialfeld:

M<\varphi(r) = \int\limits_0^r \mathrm{F}(\tilde r) \,\mathrm{d}\tilde r =
-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q q}{r};>

Diese Gleichung beschreibt eine Hyperbel erster Ordnung:

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\n\n"
set ylabel "\n"
set xrange [ -0.000001 : 4.000000 ]
set yrange [ -0.000001 : 4.000000 ]
set grid
set xtics 100.000000
set ytics 100.000000

# Function definitions
func0(x) = 1./(x**2.)
func1(x) = 1./x

# Plotting
plot func0(x) t "Kraft" w l lt 1, func1(x) t "Potenzial" w l lt 2

=hend

Während also die Kraft auf einen elektrisch geladenen Probekörper mit dem
Quadrat der Entfernung abnimmt, nimmt das Potenzial direkt mit der Entfernung
ab.

=for comment
Man sieht hier auch, dass die Anfangsgleichung für die Kraft M<F> noch an die
erwarteten Vorzeichen angepasst werden muss -- bei negativen M<r>, also z.B.
links von der Kugel, wirkt die Kraft in die entgegengesetzte Richtung.
XXX falsch, Abstände immer >= 0

Wollen wir uns nicht auf nur eine Raumrichtung beschränken, so müssen wir die
erhaltenen Felder für den eindimensionalen Fall nur um die M<0>-Achse drehen.

Frage: Im Metzler wurde, um das Potenzialfeld zu erhalten, nicht das Kraftfeld,
sondern direkt M<\mathcal{E}>, also die Feldstärke, nach der Entfernung
integriert; in der Schule hatten wir jedoch das Kraftfeld der Feder
hergenommen, um zum Potenzialfeld zu gelangen.

(Benötigte Zeit: 24 min)