=for timestamp
Mo Jan  9 20:39:56 CET 2006

=head2 40. Hausaufgabe

=head3 Zusammenfassung des Hall-Effekts unter den Gesichtspunkten der Stunde

Die Herleitung für die Formel für die Hallspannung M<U_{\text{H}}> ist sehr
einfach.

Zum Einen wissen wir, dass die Lorentzkraft M<F_{\text{L}}> wegen des
Magnetfelds wirkt:

M<F_{\text{L}} = \mathcal{B} e v;>

Dadurch werden die Ladungsträger in eine bestimmte Richtung abgelenkt. Die
Konzentration der vielen Elektronen erzeugt nun ein elektrisches Feld:

M<\mathcal{E} = \frac{F_{\text{el}}}{e} = \frac{U}{d}; \Rightarrow
F_{\text{el}} = \frac{U}{d} e;>

Im Gleichgewichtszustand sind die Lorentzkraft M<F_{\text{L}}> und die
elektrische Kraft M<F_{\text{el}}> gleich groß, also können wir M<F_{\text{L}}>
mit M<F_{\text{el}}> gleich setzen:

M<F_{\text{L}} = F_{\text{el}}; \Rightarrow \mathcal{B} e v = \frac{U}{d} e;>

Durch Auflösen erhalten wir für die Hallspannung M<U_{\text{H}} = U>

M<U_{\text{H}} = \mathcal{B} v d;>

Die Geschwindigkeit der Elektronen errechnet sich durch

M<v = \frac{I}{d^2 n e}>,

wobei M<n> die Ladungsträgerdichte, also M<\frac{N}{V}>, bezeichnet. Einsetzen
liefert dann die bekannte Gleichung

M<U_{\text{H}} = \frac{1}{n e} \frac{I \mathcal{B}}{d};>

=head3 Erneute kurze Zusammenfassung des Sachverhalts beim Zyklotron

Beim Zyklotron wird die Zentripetalkraft von der Lorentzkraft aufgebracht,
M<F_{\text{r}}> und M<F_{\text{L}}> sind also gleich groß:

M<F_{\text{r}} = F_{\text{L}}; \Rightarrow m \frac{v^2}{r} = \mathcal{B} Q v;>

Substitution eines M<v> mit M<\omega r> liefert dann die Kreisfrequenz
M<\omega>, die der Wechselstrom, der die Elektronen von der einen Seite zur
anderen beschleunigt, aufweisen muss:

M<\omega = \frac{\mathcal{B} Q}{m};>

Bemerkenswert ist, dass M<\omega> nicht von der Geschwindigkeit M<v> der
Ladungsträger abhängt (siehe 36. Hausaufgabe)!

(Benötigte Zeit: 53 min)