=for timestamp
Mi Jan 11 19:38:51 CET 2006

=head2 42. Hausaufgabe

=head3 Zusammenfassung der Seiten 240f.

Das Gravitationsgesetz beschreibt die Größe der Kraft, mit der sich zwei
beliebige Massen M<m_1> und M<m_2> im Abstand M<r> anziehen:

M<F_{\text{G}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2};>

Ein ähnliches Gesetz gibt es für die Anziehungskraft (bzw. Abstoßungskraft)
zwischen zwei Punktladungen:

M<F_{\text{el}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2};>

Nun ziehen sich auch Ströme an, bedingt durch die durch die Ströme erzeugten
Magnetfelder. Zwei parallel gerichtete Ströme ziehen sich gegenseitig an, zwei
entgegen gesetzte Ströme stoßen sich ab; dies kann durch Betrachtung der
Lorentzkraft (Drei--Finger-Regel) der Magnetfelder der beiden Ströme
(Rechte--Hand-Regel) nachvollzogen werden.

Die anziehende Kraft errechnet sich direkt aus der Definition der magnetischen
Flussdichte M<\mathcal{B}>:

M<\mathcal{B} = \frac{F}{I l}; \Rightarrow F = \mathcal{B} I l;>

Die letzte verbleibende Unbekannte, M<\mathcal{B}>, errechnet sich wiederum
durch Addition der einzelnen Flussdichten der Ströme; dabei muss man besonders
auf die Vorzeichen aufpassen, da allgemein nur M<\mathcal{B}> in Abhängigkeit
von M<r>, der Entfernung, bekannt ist. Entfernungen sind nun leider immer
positiv, was das Ansetzen von Gleichungen enorm erschwert.

Also:

M<F_{1 \to 2} = \mathcal{B}_1 I_2 l_2 = I_2 l_2 \cdot \frac{\mu_0}{2 \pi}
\frac{I_1}{r} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I_1 I_2}{r} l_2;>

M<F_{2 \to 1} = \mathcal{B}_2 I_1 l_1 = I_1 l_1 \cdot \frac{\mu_0}{2 \pi}
\frac{I_2}{r} = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{I_1 I_2}{r} l_1;>

(Analogie zu M<\mathcal{E}>-Feldern:

M<F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} = Q_1 \mathcal{E}_2(r)
= Q_1 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_2^2}{r^2};>)

Frage: Wäre es nicht besser, kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten
anstatt immer positiver Radien zu verwenden?

=head3 Buch Seite 241, Aufgabe 1

Zwei geradlinige lange Leiter verlaufen in einem Abstand von M<d = 10
\,\mathrm{cm}> parallel zueinander. Sie werden in entgegengesetzter Richtung
von den Strömen M<I_1 = 15 \,\mathrm{A}> und M<I_2 = 25 \,\mathrm{A}>
durchflossen. Berechnen Sie die magnetische Feldstärke in einem Punkt in der
von den Leitern aufgespannten Ebene, der

=over

=item a)

von beiden Leitern gleich weit entfernt ist.

M<\mathcal{B} = \mathcal{B}_1(5 \,\mathrm{cm}) + \mathcal{B}_2(5 \,\mathrm{cm})
= \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_1}{5 \,\mathrm{cm}} + \frac{I_2}{5
\,\mathrm{cm}}\right) \approx 2 \cdot 10^{-4} \,\mathrm{T};>

=item b)

M<2 \,\mathrm{cm}> von Leiter 1 und M<8 \,\mathrm{cm}> von Leiter 2 entfernt
ist.

M<\mathcal{B} = \mathcal{B}_1(2 \,\mathrm{cm}) + \mathcal{B}_2(8 \,\mathrm{cm})
= \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_1}{2 \,\mathrm{cm}} + \frac{I_2}{8
\,\mathrm{cm}}\right) \approx 2 \cdot 10^{-4} \,\mathrm{T};>

=item c)

M<2 \,\mathrm{cm}> von Leiter 1 und M<12 \,\mathrm{cm}> von Leiter 2 entfernt
ist.

M<\mathcal{B} = \mathcal{B}_1(2 \,\mathrm{cm}) - \mathcal{B}_2(12
\,\mathrm{cm}) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_1}{2 \,\mathrm{cm}} -
\frac{I_2}{12 \,\mathrm{cm}}\right) \approx 1 \cdot 10^{-4} \,\mathrm{T};>

=item d)

In welchen Punkten ist die magnetische Feldstärke null?

=for timestamp
Do Jan 12 20:09:01 CET 2006

Problem: Rechnen mit (immer positiven) Radien "riskant", daher ist eine
Fallunterscheidung notwendig.

=over

=item *

Fall: Punkt liegt links vor Leiter 1, Magnetfelder zeigen in entgegengesetzte
Richtungen

M<r_1(r) = r;> (Sicht von Leiter 1)

M<r_2(r) = d + r;> (Sicht von Leiter 2)

M<\mathcal{B}(r) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_2}{d + r} -
\frac{I_1}{r}\right) = 0 \,\mathrm{T};>

⇒ M<I_2 r = I_1 d + I_1 r; \Rightarrow r = \frac{I_1 d}{I_2 - I_1} \approx 15
\,\mathrm{cm};>

=item *

Fall: Punkt liegt zwischen den beiden Leitern, Magnetfelder zeigen in gleiche
Richtung (damit kann M<\mathcal{B}> sowieso nicht M<0 \,\mathrm{T}> sein)

M<r_1(r) = r;> (Sicht von Leiter 1)

M<r_2(r) = d - r;> (Sicht von Leiter 2)

M<r> darf nicht größer als M<d> werden (sonst "Hineinfallen" in dritten Fall).

M<\mathcal{B}(r) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_2}{d - r} +
\frac{I_1}{r}\right) = 0 \,\mathrm{T};>

⇒ M<I_2 r = -I_1 d + I_1 r; \Rightarrow r = \frac{-I_1 d}{I_2 - I_1} \approx
-15 \,\mathrm{cm} E<lt> 0 \,\mathrm{cm};> (Widerspruch, wie erwartet)

=item *

Fall: Punkt liegt rechts nach Leiter 2, Magnetfelder zeigen in entgegengesetzte
Richtungen

M<r_1(r) = r;> (Sicht von Leiter 1)

M<r_2(r) = r - d;> (Sicht von Leiter 2)

M<\mathcal{B}(r) = \frac{\mu_0}{2 \pi} \left(\frac{I_2}{r - d} -
\frac{I_1}{r}\right) = 0 \,\mathrm{T};>

⇒ M<I_2 r = I_1 r - I_1 d; \Rightarrow r = \frac{-I_1 d}{I_2 - I_1} \approx -15
\,\mathrm{cm} E<lt> 0 \,\mathrm{cm};> (Widerspruch)

=back

Damit einzige Lösung: M<r \approx 15 \,\mathrm{cm}> ⇒ M<r_1 \approx 15
\,\mathrm{cm}; \quad r_2 \approx 25 \,\mathrm{cm};>

=back

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