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Mi Jan 25 17:21:44 CET 2006

=head2 48. Hausaufgabe

=head3 Auflösung der Differentialgleichung fürs Mechanische

M<\displaystyle D x + m_{\text{eff}} \ddot x = 0;>

Ableiten nach der Zeit bringt:

M<\displaystyle D \dot x + m_{\text{eff}} \dddot x = 0;>

Da die Sinus-Funktion nach zweimaligem Ableiten wieder zum Sinus führt (nur mit
umgekehrten Vorzeichen), vermuten wir:

M<\displaystyle \dot x = \hat{\dot x} \cdot \sin \omega t;>

Ableiten bestätigt unsere Vermutung:

M<\displaystyle \ddot x = \hat{\dot x} \omega \cdot \cos \omega t;>

M<\displaystyle \dddot x = -\hat{\dot x} \omega^2 \cdot \sin \omega t;>

Einsetzen bringt dann:

M<\displaystyle D \hat{\dot x} \cdot \sin \omega t - m_{\text{eff}} \hat{\dot x}
\omega^2 \cdot \sin \omega t = 0;>

Kürzen von M<\hat{\dot x}> und M<\sin \omega t> führt zu:

M<\displaystyle D - m_{\text{eff}} \omega^2 = 0;>

Das Kürzen ist deswegen zulässig, weil keine Lösungen verloren gehen, wenn
M<\hat{\dot x}> oder M<\sin \omega t> M<0> sind: in diesen Fällen ist die
Gleichung immer erfüllt.

M<\omega> errechnet sich damit zu

M<\displaystyle \left|\omega\right| = \sqrt{\frac{D}{m_{\text{eff}}}};>

Nimmt man für M<m_{\text{eff}}> die Spuleninduktivität M<L> und statt M<D>
M<\frac{1}{C}> erhält man die bekannte Gleichung für den elektromagnetischen
Schwingkreis; unsere Herleitung ist also korrekt.

(Benötigte Zeit: 17 min)