=for timestamp
So Feb  5 20:22:18 CET 2006

=head2 53. Hausaufgabe

=head3 Exzerpt von B. S. 266: Energieübertragung im Wechselstromkreis und
Vergleich mit unserer Herleitung

Der grundlegende Unterschied zwischen unserer Herleitung und der im Metzler ist
der, dass wir keine Angst vorm Integral haben und einen Ansatz über die Energie
wählten, während man im Metzler den Bereich der Leistung nicht verlässt:

M<\displaystyle E = \int\limits_{t_1}^{t_2} U(t) \, I(t) \,\mathrm{d}t;>

Im Metzler dagegen finden wir

M<\displaystyle p = u \, i;>

Dies liegt vermutlich darin begründet, dass man die Leistung (wie z.B. auch die
Stromstärke) leichter messen kann als die Energie (bzw. die Ladung). Wir nahmen
also einen theoretischeren Ansatz, während im Metzler eine praxisorientierterer
Ansatz zu finden ist.

Dementsprechend unterscheidet sich auch das weitere Vorgehen in der Herleitung:
Sowohl unsere Herleitung als auch die im Metzler nutzt die Beziehungen M<U(t) =
U_0 \sin \omega t> und M<I(t) = I_0 \sin \omega t> aus. Jedoch konnten wir,
weil wir den Weg übers Integral gewählt haben, sehr anschaulich fortfahren:

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\n\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ 0.000000 : 6.283185 ]
set yrange [ 0.000000 : 1.000000 ]
set grid
#set xtics 0.785398
set ytics 0.200000
set xtics ("0" 0, "pi/4" pi/4, "pi/2" pi/2, "3/4 pi" 3./4.*pi, "pi" pi, "5/4 pi" 5./4.*pi, "3/2 pi" 3./2.*pi, "7/4 pi" 7./4.*pi, "2 pi" 2.*pi)

# Function definitions
func0(x) = sin(x)**2.

# Plotting
plot func0(x) t "sin^2 t" w l lt 1

=hend

Dies ist -- abzüglich der Konstanten M<U_0> und M<I_0> -- der Graph der
Funktion, die wir integrieren. "Klappt" man jeweils einen Teil des Graphen
"um", so erkennt man, dass der Flächeninhalt der Fläche, die von der M<x>-Achse
und dem Funktionsgraphen begrenzt wird, M<\frac{T}{2}> beträgt:

M<\displaystyle \int\limits_{0 \,\mathrm{s}}^T U(t) I(t) \,\mathrm{d}t
\stackrel{\scriptsize\text{z.B.}}{=} U_{\text{max}} I_{\text{max}}
\underbrace{\int\limits_{0 \,\mathrm{s}}^T \sin^2 \omega t
\,\mathrm{d}t}_{\frac{T}{2}} = \underbrace{U_{\text{max}} I_{\text{max}}
T}_{\text{bekannt als "`}UIt\text{"'}} \cdot \frac{1}{2};>

In der Herleitung im Metzlers dagegen wird mit der undurchsichtigeren Beziehung
M<2 \sin^2 \omega t = 1 + \cos 2 \omega t> argumentiert.

Der letzte Teil der Herleitung -- das Definieren von M<U_{\text{eff}}> und
M<I_{\text{eff}}> ist den beiden Herleitungen gemeinsam; die beiden neuen
Variablen werden mittels Substitution eingeführt:

M<\displaystyle \Delta E_T = \underbrace{U_{\text{max}} I_{\text{max}}
T}_{\text{bekannt als "`}UIt\text{"'}} \cdot \frac{1}{2} =
\frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}} T
\stackrel{\text{!}}{\equiv} U_{\text{eff}} \, I_{\text{eff}} \, T;>

Persönlich bevorzuge ich unsere Herleitung, da die Zusammenhänge zwischen
Energie, Spannung und Stromstärke durchs Integral sehr deutlich werden und da
man unsere Herleitung auch auf andere Wechselstromarten als den sinusförmigen
Wechselstrom übertragen kann -- es muss lediglich das Integral anders aufgelöst
werden. Außerdem empfand ich unsere Auflösung des Integrals viel anschaulicher
als das Ausnutzen der trigonometrischen Beziehung M<2 \sin^2 \omega t = 1 +
\cos 2 \omega t> im Metzler.

(Benötigte Zeit: 43 min + 4 min)