=for timestamp
Mi Feb  8 19:54:25 CET 2006

=head2 56. Hausaufgabe

=head3 Exzerpt von B. S. 119f.: Resonanz

In der "Realität" klingen "eigentlich" ungedämpfte Schwingungen mit der Zeit
immer ab, da immer Wärmeverluste entstehen; die Energie M<E_{\text{ges}}> ist
also nicht konstant, sondern nimmt mit der Zeit ab.

Möchte man nun trotz der Verluste eine ungedämpfte Schwingung erzeugen, so muss
man dem System die durch die Verluste verlorene Energie zufügen:
M<E_{\text{System}} + E_{\text{Ersatz}}> ist dann konstant.

Je nach System muss diese Energiezufuhr anders erfolgen: Beim
elektromagnetischen Schwingkreis kann eine Wechselstromquelle in den
Schwingkreis integriert werden, beim Schnurstrom lässt man die Schnurpumpe
zeitabhängig die Pumprichtung wechseln und bei einem Feder--Resonator-System
erregt man die Feder durch einen entsprechenden Motor.

Die Frequenz der Generatorspannung (bzw. des entsprechenden Analogons)
ist dabei keineswegs irrelevant: entspricht die Erregerfrequenz M<\omega> der
Eigenfrequenz M<\omega_0> des Resonators, so wird man eine Maximierung der
Amplitude erreichen, da sich die beteiligten Spannungen gegenseitig verstärken.

Weicht aber M<\omega> von M<\omega_0> ab, so stellt man eine geringere
Amplitude fest, da sich die jeweiligen Spannungen gegenseitig abschwächen --
M<U_{\text{ges}} = U_0 + U_{\text{Generator}}>:

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de> on Wed, 08 Feb 2006 20:54:49 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title "Beispiel: Nicht maximale Summenamplitude"
set xlabel "\nt\n"
set ylabel "Amplitudenhöhe\n\n"
set xrange [ 0.000000 : 10.000000 ]
set yrange [ -2.000000 : 2.000000 ]
set grid
set xtics 100.000000
set ytics 100.000000

# Function definitions
func0(x) = sin(x)
func1(x) = sin(pi*x)
func2(x) = sin(x) + sin(pi*x)

# Plotting
plot func0(x) t "Resonator" w l lt 2, func1(x) t "Erreger" w l lt 3, func2(x) t "Summe" w l lt 1 lw 2

=hend

Trägt man Erregerwinkelgeschwindigkeiten M<\omega> und die resultierenden
Maximalamplituden in einem Koordinatensystem auf, so erhält man eine
Resonanzkurve; die Abhängigkeit der Scheitelamplitude von M<\omega> wird
visualisiert.

Fragen:

=over

=item *

Laut Metzler stimmt die Resonanzfrequenz "in etwa" mit der Eigenfrequenz des
Resonators überein. Wieso "in etwa" und nicht exakt?

=item *

Wieso stellt sich eine Phasenverschiebung von M<\frac{\pi}{2}> ein? Man
erreicht die Maximalamplitude doch sicherlich bei einer Phasenverschiebung von
M<0>, oder?

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de> on Wed, 08 Feb 2006 21:07:59 CET.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n\n"
set xrange [ 0.000000 : 5.000000 ]
set yrange [ -2.000000 : 2.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = sin(x) + sin(x+pi/2.)
func1(x) = sin(x)+sin(x)

# Plotting
plot func0(x) t "sin x + sin(x + pi/2)" w l lt 1, func1(x) t "sin x + sin x" w l lt 2

=hend

=back

(Benötigte Zeit: 84 min)