=for timestamp
Di Mär 14 17:52:41 CET 2006

=head2 70. und 71. Hausaufgabe

=head3 Zusammenfassung der Stunde: Gleichspannungsgenerator

Ein kreisförmiger Leiter befindet sich in einem Magnetfeld. Aufgesetzt ist ein
zweiter, geradliniger Leiter, dessen Anfangspunkt der Kreismittelpunkt ist.

Greift man nun die Spannung zwischen einem Punkt des kreis­för­mi­gen Leiters
und dem Mittelpunkt ab, so wird man -- dreht man den aufsitzenden Leiter mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit -- eine konstante Gleichspannung messen
können.

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 1 1 0 4455.000 3015.000 4680 2970 4500 2790 4230 3060
	0 0 1.00 105.00 150.00
5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 1 1 0 4905.000 3015.000 5220 3150 5220 2880 5040 2700
	0 0 1.00 105.00 150.00
6 5850 4275 6075 4500
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5850 4500 6075 4275
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5850 4275 6075 4500
-6
6 4950 4275 5175 4500
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4950 4500 5175 4275
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4950 4275 5175 4500
-6
6 4050 4275 4275 4500
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4050 4500 4275 4275
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4050 4275 4275 4500
-6
6 3150 4275 3375 4500
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
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2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 3150 4275 3375 4500
-6
6 3150 3375 3375 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 3150 3600 3375 3375
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 3150 3375 3375 3600
-6
6 3150 2475 3375 2700
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 3150 2700 3375 2475
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 3150 2475 3375 2700
-6
6 3150 1575 3375 1800
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 3150 1800 3375 1575
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 3150 1575 3375 1800
-6
6 4050 1575 4275 1800
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4050 1800 4275 1575
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4050 1575 4275 1800
-6
6 4950 1575 5175 1800
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4950 1800 5175 1575
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4950 1575 5175 1800
-6
6 5850 1575 6075 1800
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5850 1800 6075 1575
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5850 1575 6075 1800
-6
6 5850 2475 6075 2700
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
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2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5850 2475 6075 2700
-6
6 5850 3375 6075 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5850 3600 6075 3375
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 5850 3375 6075 3600
-6
6 4950 3375 5175 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4950 3600 5175 3375
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4950 3375 5175 3600
-6
6 4050 3375 4275 3600
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
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-6
6 4050 2475 4275 2700
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	 4050 2475 4275 2700
-6
6 4950 2475 5175 2700
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
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2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4950 2475 5175 2700
-6
6 4590 5130 4680 5220
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 42.00 60.00
	 4590 5220 4680 5130
-6
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 4500 3150 32 32 4500 3150 4532 3150
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3600 4050 32 32 3600 4050 3632 4050
1 4 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 1 0.0000 4612 5175 113 113 4500 5175 4725 5175
1 3 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 4500 3150 1273 1273 4500 3150 5773 3150
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 3
	 3600 4050 3600 5175 4500 5175
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 4
	 4725 5175 6525 5175 6525 2025 5625 2025
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4500 3150 5760 3150
2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 4500 3150 5625 2025
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 180 4860 3060 wt\001
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 375 4770 5040 Uind\001

=hend

Dies kann mittels des bekannten Induktionsgesetzes gezeigt werden -- der Zeiger
überstreicht eine Fläche, genauer ein Kreissegment. Diese Fläche kann
problemlos berechnet werden, und damit kann man auch den fürs Induktionsgesetz
benötigte magnetischen Fluss berechnen:

M<U_{\text{ind}}(t) = \dot \phi(t) = \mathcal{B} \dot A(t) = \mathcal{B}
\dot{\left(\frac{\varphi(t)}{2} r^2\right)} = \mathcal{B}
\dot{\left(\frac{1}{2} \omega t r^2\right)} = \frac{1}{2} \mathcal{B} \omega
r^2;>

=head3 Zusammenfassung der Stunde: Wechselspannungsgenerator

Ein rechteckiger Leiter befindet sich in einem Magnetfeld. Die magnetische
Flussdichte und die Leiterausmaße sind bekannt; mit den Leiterenden wird ein
Verbraucher verbunden. Kann man durch Drehung des Leiters um seine Mittelachse
einen Energiefluss gegebener Energiestromstärke erreichen?

=helper MyBook::Helper::XFig

#FIG 3.2
Landscape
Center
Metric
A4      
100.00
Single
-2
1200 2
5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 5287.500 2812.500 5400 2475 5625 2700 5625 2925
5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 1 1 0 4387.500 2812.500 4725 2700 4500 2475 4275 2475
	0 0 1.00 105.00 150.00
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3600 3375 18 18 3600 3375 3618 3375
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 4500 2925 32 32 4500 2925 4532 2925
1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 5400 2475 18 18 5400 2475 5418 2475
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 3150 1800 3150 4050
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 4050 1800 4050 4050
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 4950 1800 4950 4050
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 5400 1800 5400 4050
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 5850 1800 5850 4050
2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2
	 3600 3375 5400 2475
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 1
	 5400 2475
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2
	 4500 2925 5625 2925
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 4500 1800 4500 4050
2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2
	0 0 1.00 105.00 150.00
	 3600 1800 3600 4050
4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 180 5340 2820 wt\001

=hend

Zur Beantwortung dieser Frage ist es zuerst zweckmäßig, die Unterschiede zur
vorherigen Aufgabe herauszuarbeiten. Bei beiden Fällen wird ein Leiter gedreht
-- beim Gleichspannungsgenerator überstreicht der Leiter eine Fläche, beim hier
vorliegenden Fall dagegen dreht sich eine orientierte Fläche -- die
Leiterfläche.

Bekannt ist bereits das Ergebnis dieser Drehung: Es wird Wechselspannung
induziert. Kann man aber eine angestrebte Leistung M<P_{\text{eff}}> erreichen?

Zur Beantwortung ist es hilfreich, vom einfachen Ansatz M<P_{\text{eff}} =
\frac{U_{\text{eff}}^2}{R}> auszugehen und dann schrittweise unbekannte Größen
durch andere auszudrücken.

M<P_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{eff}}^2}{R}; \Leftrightarrow R =
\frac{U_{\text{eff}}^2}{P_{\text{eff}}} =
\left(\frac{\widehat{U_{\text{ind}}(t)}}{\sqrt{2}}\right)^2
\frac{1}{P_{\text{eff}}} =
\left(\frac{\widehat{-n \dot{\phi}(t)}}{\sqrt{2}}\right)^2
\frac{1}{P_{\text{eff}}} = \left(\frac{\widehat{n \mathcal{B} A_0 \omega \sin
\omega t}}{\sqrt{2}}\right)^2 \frac{1}{P_{\text{eff}}} =
\left(\frac{n \mathcal{B} A_0 \omega}{\sqrt{2}}\right)^2 \frac{1}{P_{\text{eff}}} =
\frac{1}{2} \frac{1}{P_{\text{eff}}} n^2 \mathcal{B}^2 A_0^2 \omega^2;
\Leftrightarrow f = \frac{\sqrt{2 R P_{\text{eff}}}}{n B A_0 2 \pi};> →
realistisch nur bei hoher Windungszahl.

Eine gegebene Leistung zu erzielen ist also genau dann möglich, wenn der
Verbraucherwiderstand der obigen Gleichung genügt.

Ich möchte besonders hervorheben, dass der Knackpunkt dieser Hausaufgabe nicht
im Auflösen der Gleichungen besteht, sondern in den Unterschieden der beiden
Szenarien: Beides mal wird ein Leiter mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
gedreht, jedoch wird einmal Gleichspannung und einmal Wechselspannung
induziert.

(Benötigte Zeit: 74 min)