=for timestamp Mo Apr 17 14:33:20 CEST 2006 =head2 77. Hausaufgabe =head3 Plakat zur Wellenbeugung und -brechung =head4 Darstellung von Wellen Um verschiedene Wellenphänomene anschaulich verstehen zu kön­nen, sind grafische Darstellungsformen von Wellen hilfreich. =over =item * Nahe an der Mathematik ist die Darstellung von Wellen im kartesischen Koordinatensystem. Die Ausbreitungsachse wird meistens horizontal gewählt, das Signal wird nach oben aufgetragen. =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Mon, 17 Apr 2006 15:55:16 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "" set xlabel "" set ylabel "" set xrange [ -0.010000 : 14.000000 ] set yrange [ -1.500000 : 1.500000 ] set grid set ytics ("x" 0, "y(t)" 1.4) set xtics ("" 0) # Function definitions func0(x) = sin(x-0.5)+(sqrt(x-((0<12?0:12)))-sqrt(x-((0<12?0:12))+0.0000001))+(sqrt(((0<12?12:0))-x)-sqrt(((0<12?12:0))-x+0.0000001)) func1(x) = sin(x-0.5-1.)+(sqrt(x-((0<13?0:13)))-sqrt(x-((0<13?0:13))+0.0000001))+(sqrt(((0<13?13:0))-x)-sqrt(((0<13?13:0))-x+0.0000001)) # Plotting plot func0(x) t "Welle zur Zeit t_0" w l lt 1, func1(x) t "Welle zur Zeit t_0 + Delta t" w l lt 2 =hend Diese Darstellung kann verwirrend sein, wenn man den Kurvenverlauf irrtümlicherweise für den Verlauf der Wellenausbreitung hält. Ein weiterer Nachteil besteht darin, dass man unterschiedliche Polarisationsgrade nur dann festhalten kann, wenn man das Koordinatensystem auf drei Dimensionen erweitert. In diesem Fall ist eine quantitative Interpretation aber mitunter schwierig. Vorteilhaft ist die Nähe zur mathematischen Repräsentation von Wellen als Funktion. Außerdem kann man bei dieser Darstellungsform die Ausbildung stehender Wellen und Wel­len­ü­ber­la­ge­rung sehr gut nachvollziehen. =item * Alternativ kann man auch nur die Wellenfronten einzeichnen -- die Punkte einer Welle, deren Phase gleich einem bestimmten Wert ist, auf den man sich verständigt. Üb­li­cher­wei­se nimmt man bei sinusförmigen Wellen die Wellenberge als Wellenfronten her. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 3600 2250 450 450 3600 2250 4050 2250 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 3600 2250 900 900 3600 2250 4500 2250 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 3600 2250 1350 1350 3600 2250 4950 2250 1 3 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 1 0.0000 3600 2250 1800 1800 3600 2250 5400 2250 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3600 2250 23 23 3600 2250 3623 2250 1 3 2 1 0 7 50 -1 -1 15.000 1 0.0000 3600 2250 2250 2250 3600 2250 5850 2250 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 2880 4680 3600 2700 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 3825 4710 3600 3150 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 5490 3870 4320 3420 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 4410 5760 5580 4140 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 4230 5040 3960 5940 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 2700 5040 3510 6390 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 3510 5580 3510 7380 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 3960 5580 3960 7380 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 4410 5580 4410 7380 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 4860 5580 4860 7380 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 5310 5580 5310 7380 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 5760 5580 5760 7380 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 15.000 0 0 -1 0 0 2 6210 5580 6210 7380 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 1410 3225 4950 Zeit t_0 + Delta t\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 645 2340 4950 Zeit t_0\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 165 1575 5580 4050 Zeit t_0 + 2 Delta t\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 1140 5130 7560 Gerade Welle\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1905 4950 225 Kreis- oder Kugelwelle\001 =hend Vorteil dieser Darstellungsart kann sein, dass die für die Illustration eines bestimmten Phänomens wesentlichen Informationen (beispielsweise Position und Ausbreitung der Wellenfronten) nicht in unwesentlichen Informationen (beispielsweise Signalrichtung) untergehen. Nachteilig kann sein, dass man möglicherweise die Lichterscheinungen fotografischer Aufnahmen von Wellenbädern direkt mit Wellenfronten identifiziert, und somit aus den Augen verliert, dass man über ein Modell spricht (Stichwort "Teilchenmärchen"). =item * Schließlich ist es auch möglich, nur die Ausbreitungsrichtung von Wellen einzuzeichnen, wobei man sich nach ästhetischen Gesichtspunkten einen oder mehrere Repräsentanten (Pfeile) des Ausbreitungsvektors der Welle aussucht. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 900 3600 2925 4275 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 900 4050 2880 4050 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 1140 1260 3870 Gerade Welle\001 -6 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 1800 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 1800 540 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 3150 1800 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 450 1800 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 2969 2475 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 2969 1125 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 631 2475 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 2475 2969 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 1125 2969 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 631 1125 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 1170 709 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 1800 2430 709 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1905 810 450 Kreis- oder Kugelwelle\001 =hend Diese Darstellungsvariante ist in der Hinsicht gefährlich, als dass man leicht die Wellencharakteristik von Wellen aus den Augen verlieren kann, wenn man eine Welle als eine einzige gerade Linie zeichnet; man kann ins Denken von "Wellen-" bzw. "Lichtstrahlen" verfallen. Besonders gefährlich ist das dann, wenn man sowieso schon Unsauberkeiten der Alltagssprache bewusst wahrnehmen muss, weil man auf dem Gebiet der Wellenphänomene sowieso noch nicht allzu bewandert ist. Gezeichnete "Lichtstrahlen" erschwert diesen Prozess des Bewusstwerdens. =back Der Grund für die Vielzahl geometrischer Darstellungsarten von Wellen liegt darin, dass Wellen mathematisch sehr komplexe Objekte sind. =over =item 1. Eine Zahl aus M<\mathds{R}> stellt kein Problem dar. =item 2. Eine Schwingung, mathematisch als Funktion der Zeit (M<\mathds{R} \to \mathds{R}>) modelliert (M), ist schon anspruchsvoller, lässt sich aber noch mit den Mitteln der Mathematik der elften Jahrgangsstufe vollständig in Griff bekommen -- beispielsweise ist die Ableitung nach einer Variablen kein Problem. Gezeichnet werden kann eine Schwingung in einem M-M-Di­a­gramm -- M hängt schließlich nur von einer einzigen Variable ab. =item 3. Eine Welle dagegen ist weitaus anspruchsvoller und lässt sich nicht mit der Mathematik der 11. oder 12. Jahrgangsstufe vollständig analysieren. Modelliert werden Wellen als Funktionen der Zeit und des Ortes (M<\mathds{R} \times \mathds{R} \to \mathds{R}>; M). Wollte man die übliche Darstellungsmethode von Schwingungen auf Wellen -- binäre Funktionen -- erweitern, müsste man dreidimensionale M-M-M-Diagramme zeichnen. Das Zeichnen selbst ist für Computer kein Problem; solche Diagrame zu interpretieren -- insbesonders quantitativ zu interpretieren -- ist für Menschen jedoch nicht einfach -- der Grund für die Vielzahl anderer Darstellungsformen. =helper MyBook::Helper::Gnuplot set isosamples 28 set grid set xtics ("" -10, "" -7.5, "" -5, "" -2.5, "" 0, "" 2.5, "" 5, "" 7.5, "" 10) set ytics ("" -10, "" -7.5, "" -5, "" -2.5, "" 0, "" 2.5, "" 5, "" 7.5, "" 10) unset ztics set view 14,331 set hidden3d splot sin(x-y) t "y(x,t)" =hend =back =for timestamp Di Apr 18 18:37:52 CEST 2006 =head4 Wellenbrechung Unter Brechung versteht man die Änderung der Ausbreitungsrichtung einer Welle, die beim Wechsel zwischen zwei Medien unterschiedlicher Brechungsindizes auftritt. Brechung ist charakteristisch für alle Arten von Wellen. =for timestamp Do Apr 20 17:03:54 CEST 2006 =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 3690 2250 4050 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 3780 2250 3780 3150 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 3870 2790 b\001 -6 6 585 3690 1575 4410 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 945 585 3870 Wellenaus-\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 840 585 4095 breitungs-\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 675 585 4320 richtung\001 -6 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3600 2250 23 23 3600 2250 3623 2250 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 450 5400 23 23 450 5400 473 5400 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 450 3150 3600 3150 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 2250 900 2250 5400 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 225 3150 225 5400 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 450 1800 3600 1800 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 2250 2025 3600 2025 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 1 0 3 0 0 1.00 105.00 150.00 450 5400 2250 3150 3600 2250 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 450 5400 450 1800 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 450 5625 2250 5625 3 0 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 3 3150 3150 3150 2925 2925 2700 0.000 1.000 0.000 3 0 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 3 1440 3150 1440 3375 1845 3690 0.000 1.000 0.000 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 210 3375 1080 c2\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 270 2835 2205 d-x\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 1890 1710 d\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 2340 3420 0\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1200 2430 5130 Mediengrenze\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 210 450 1080 c1\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 90 1350 5850 x\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 675 3690 2205 B(b,d-x)\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 660 -225 5580 A(-a,-x)\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 105 45 4320 a\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 360 2655 3060 beta\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 1575 3375 alpha\001 =hend Wellen nehmen nicht den Weg, der am räumlich kürzesten ist, sondern den, der zeitlich am schnellsten ist. Mit diesem Ansatz lässt sich das (SNELLiussche) Brechungsgesetz herleiten: =over =item * Die Zeit, die die Welle benötigt, um von M nach M zu gelangen, ergibt sich zu: M =item * Gesucht ist jetzt nach dem M, für das die benötigte Zeit möglichst gering wird. Also leiten wir nach M ab und setzen auf M<0 \,\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}>: M<\begin{array}{@{}rcl} {} t_{\text{nötig}}'(x) &=& {} \frac{1}{c_1} \frac{1}{2 \sqrt{a^2 + x^2}} \cdot 2x - {} \frac{1}{c_2} \frac{1}{2 \sqrt{b^2 + \left(d - x\right)^2}} \cdot {} 2\left(d - x\right) \cdot \left(-1\right) = \\ {} &=& \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - {} \frac{1}{c_2} \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + \left(d - x\right)^2}} {} \stackrel{\text{!}}{=} 0 \,\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}; \end{array}> =item * Ähnlich wie bei der Herleitung der THOMSONschen Schwingungsgleichung, bei der uns die mathematische Lösung der Differentialgleichung -- M -- nicht so sehr interessiert hat wie die das System charakterisierende physikalisch relevante Konstante M<\omega>, interessieren wir uns auch hier weniger für M, sondern vielmehr für eine geeignete Umformung: M<\frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2} \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + \left(d - x\right)^2}} = \frac{1}{c_1} \sin \alpha - \frac{1}{c_2} \sin\beta = 0 \,\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}};> Weitere Umformung führt dann zum Brechungsgesetz: M<\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{c_1}{c_2};> =back =for timestamp Di Apr 18 18:37:52 CEST 2006 Möchte man Wellen nicht auf ihre Ausbreitungsrichtung reduzieren, kann man sich des HUYGENSschen Prinzip bedienen. Nach dem HUYGENSschen Prinzip kann man sich jede Stelle der Ü­ber­gangs­li­nie zwischen den zwei Medien als Entstehungsort neuer Elementarwellen denken; =for timestamp Fr Apr 21 16:58:38 CEST 2006 Der Teil der Elementarwellen, der sich im anderem Medium ausbreitet, überlagert sich zur gebrochenen Welle. Der Teil, der sich im ursprünglichen Medium ausbreitet, überlagert sich zur reflektierten Welle. =for timestamp Do Apr 20 17:03:54 CEST 2006 =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3150 2700 23 23 3150 2700 3173 2700 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 12.000 1 0.0000 3149 2699 1274 1274 3149 2699 4423 2699 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 12.000 1 0.0000 3150 2700 450 450 3150 2700 3600 2700 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1350 2700 32 32 1350 2700 1382 2700 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3150 2700 32 32 3150 2700 3182 2700 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 4950 2700 32 32 4950 2700 4982 2700 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 -450 2700 32 32 -450 2700 -418 2700 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 12.000 1 0.0000 1350 2700 824 824 1350 2700 2174 2700 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 12.000 1 0.0000 1359 2698 1647 1647 1359 2698 3006 2698 2 1 1 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 3150 2700 7650 450 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 -900 2700 7650 2700 2 1 1 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 1350 2700 5850 450 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 1350 450 1350 4950 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 3150 4500 1350 4500 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 3150 2700 3150 4500 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 1260 3524 1260 4347 2 1 1 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 -450 2700 4050 450 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 4050 1350 3600 675 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 5850 225 7650 225 2 1 1 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 4950 2700 7650 1350 2 1 1 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 -900 2025 2250 450 2 1 1 2 0 7 50 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 -900 1125 450 450 3 0 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 0 3 6300 2700 6300 2430 6120 2160 0.000 1.000 0.000 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 540 765 2925 O(0,0)\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 2250 4725 d\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 600 630 3960 lambda\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 5670 2565 alpha\001 4 0 0 50 -1 4 12 5.2634 0 135 600 3780 720 lambda\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1425 6045 135 lambda/sin alpha\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 210 7470 2475 c1\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 210 7470 3060 c2\001 =hend =for timestamp Fr Apr 21 16:58:38 CEST 2006 Dass wir mit einem einzigen Ansatz -- der Überlagerung der Elementarwellen -- nicht nur Brechung, sondern auch Reflexion erklären können, ist ein großer Vorteil des HUYGENSschen Modells. Auf die Weise, wie wir das Brechungsgesetz hergeleitet haben, hät­ten wir nicht auch Reflexion mathematisch behandeln können. =for timestamp Di Apr 18 18:37:52 CEST 2006 Mit unserer Schulmathematik ist es leider nicht möglich, diesen Ansatz vollständig durchzurechnen; die ersten Schritte können wir aber sehr wohl handhaben und dadurch die Mathematik hinter Wellen besser zu verstehen lernen. =over =item * Eine Kreiswelle, die im Punkt M zur Zeit M<0> entsteht, stellen wir mathematisch als binäre Funktion von M und der Zeit dar, wobei M der Abstand eines bestimmten Wellenpunkts zu M ist. Die Frequenz dieser Elementarwelle ist gleich der Frequenz der einfallenden geraden Welle. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist im neuen Medium jedoch eine andere -- M, nicht M; mit M errechnet sich die Wellenlänge des relevanten Teils der Elementarwellen -- des Teils der Elementarwellen, der sich im neuen Medium ausbreitet -- zu M<\lambda' = \frac{c_2}{f}>. M Mit M ergibt sich umgerechnet in kartesische Koordinaten: M 0;> =item * Die Darstellung einer Elementarwelle, die nicht im Ursprung, sondern im Punkt M<(d,0)> entsteht, ist etwas komplizierter. Zum einen entsteht diese Welle nicht wie M zur Zeit M<0>, sondern zeitversetzt -- die einfallende Welle trifft erst später an der Mediengrenze ein. Diese Zeitdifferenz errechnet sich mit M<\sin\alpha = \frac{\lambda}{d}> zu M<\Delta t = \frac{\Delta \lambda}{c} = \frac{d \sin\alpha}{c} = \frac{d \sin\alpha}{\lambda f};> Außerdem unterscheidet sich die Entfernung vom Ursprungsort der Welle zu einem bestimmten Wellenpunkt: M 0;> Einsetzen bringt damit für die Gleichung der Welle, die im Punkt M<(d,0)> entsteht: M<\begin{array}{@{}rcl} {} f_d(x,y,t) &=& A \sin 2\pi \left(ft' + \frac{1}{\lambda'} r'\right) = {} A \sin 2\pi \left[f\left(t - \Delta t\right) + \frac{1}{\lambda'} r'\right] = \\ {} &=& A \sin 2\pi \left[f\left(t - \frac{d \sin\alpha}{\lambda f}\right) + \frac{1}{\lambda'} \sqrt{\left(x - d\right)^2 + y^2}\right]\!; \quad y E 0; \end{array}> =item * Um die Überlagerung unendlich vieler Elementarwellen zu fassen, betrachten wir mathematisch nur den Bereich zwischen M<-\frac{o}{2}> und M<\frac{o}{2}> auf der Grenzlinie. Damit wir trotzdem die Ü­ber­la­ge­rung aller Wellen, und nicht nur einem Teil, erhalten, lassen wir M gegen Unendlich gehen. Außerdem denken wir uns, dass über die gesamte Strecke M<\left[\left(-\frac{o}{2},0\right)\left(\frac{o}{2},0\right)\right]> genau M Elementarwellen im Abstand M<\frac{o}{n}> entstehen. Lassen wir M gegen Unendlich gehen, geht der Abstand M<\frac{o}{n}> gegen Null und wir erfassen alle Wellen. In symbolischer Schreibweise drücken wir das so aus: M 0;> Dieses Problem können wir leider nicht mehr lösen -- wir kennen keine Formeln für die Summe vieler Sinusanwendungen auf komplizierte (nicht-lineare) Werte. =back =for timestamp Do Apr 20 17:03:54 CEST 2006 =head4 Wellenbeugung Unter Beugung versteht man die Ablenkung von Wellen an einem undurchlässigen Hindernis. Gebeugte Wellen können sich in dem geometrischen Schattenraum des Hindernisses ausbreiten. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 8460 2700 8775 3825 2 1 0 1 0 7 48 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 8550 3825 8550 2700 4 0 0 48 -1 4 12 0.0000 0 105 105 8640 3420 c\001 -6 6 3510 2700 3825 3825 2 1 0 1 0 7 48 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 3600 3825 3600 2700 4 0 0 48 -1 4 12 0.0000 0 105 105 3690 3420 c\001 -6 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 8550 1800 450 450 8550 1800 8550 1350 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 8550 1800 900 900 8550 1800 8550 900 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 8550 1800 1369 1369 8550 1800 8775 450 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 8550 1800 1814 1814 8550 1800 8775 0 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 4.500 0 0 -1 0 0 2 2700 1800 4500 1800 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 3600 5400 3600 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 3150 5400 3150 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 2700 5400 2700 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 2250 5400 2250 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 1800 5400 1800 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 1350 2700 1350 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 900 2700 900 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 450 2700 450 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 0 5400 0 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 4500 1350 5400 1350 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 4500 900 5400 900 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 4500 450 5400 450 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 -450 5400 -450 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 4500 1800 4500 -900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 2700 1800 2700 -900 2 1 1 1 0 7 47 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 6525 3600 10575 3600 2 1 1 1 0 7 47 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 6525 3150 10575 3150 2 1 1 1 0 7 47 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 6525 2700 10575 2700 2 1 1 1 0 7 47 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 6525 2250 10575 2250 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 8663 1800 8663 -900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 8438 1800 8438 -900 2 1 0 2 0 7 48 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 8663 1800 10575 1800 2 1 0 2 0 7 48 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 6525 1800 8438 1800 2 2 0 1 7 7 50 -1 20 0.000 0 0 -1 0 0 5 6300 1800 10800 1800 10800 4050 6300 4050 6300 1800 3 0 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 0 3 2700 1350 2880 1350 2880 1440 0.000 1.000 0.000 3 0 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 0 3 2700 900 3150 900 3150 1080 0.000 1.000 0.000 3 0 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 0 3 2700 450 3600 450 3600 630 0.000 1.000 0.000 3 0 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 0 3 4500 1350 4320 1350 4320 1440 0.000 1.000 0.000 3 0 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 0 3 4500 900 4050 900 4050 1080 0.000 1.000 0.000 3 0 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 0 3 4500 450 3600 450 3600 630 0.000 1.000 0.000 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 1140 3060 -900 Schattenraum\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 1140 7110 -900 Schattenraum\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 1140 8910 -900 Schattenraum\001 =hend =over =item * Ist das Hindernis bzw. die Öffnung im Vergleich zur Wel­len­län­ge sehr groß, ist der Effekt zwar selbstverständlich auch vorhanden, aber kaum bemerkbar bzw. ver­nach­läs­sig­bar. =item * Sind die Größe des Hindernisses bzw. der Öffnung und die Wellenlänge von der gleichen Größenordnung, kann der Effekt im Allgemeinen nicht vernachlässigt werden. Der Teil der Wellen hinter dem Hindernis bzw. der Öffnung sind annähernd gerade. =item * Ist die Öffnung im Vergleich zur Wellenlänge klein, so ist die Welle hinter dem Hinderniss bzw. der Öffnung keine gerade Welle, sondern annähernd eine Kreis- bzw. Kugelwelle. =back =for timestamp Fr Apr 21 16:58:38 CEST 2006 Beugung darf man nicht mit dem alltäglichen Phänomen unscharfer Schatten verwechseln. Zum einen sind die von Lampen ausgesendeten Lichtwellen keine geraden Wellen, und zum anderen befinden sich oft mehrere Lichtquellen in einem Raum. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 0 32 #414141 0 33 #696d69 0 34 #bec3be 0 35 #696d69 0 36 #696d69 0 37 #8e8e8e 0 38 #717171 0 39 #aeaeae 0 40 #303030 0 41 #969296 0 42 #717171 0 43 #595559 0 44 #aeb2ae 0 45 #bec3be 0 46 #494549 0 47 #696d69 0 48 #494549 0 49 #696d69 0 50 #bec3be 0 51 #696d69 0 52 #494549 0 53 #bec3be 0 54 #696d69 0 55 #bec3be 0 56 #494549 0 57 #8e8e8e 0 58 #dfe3ef 0 59 #96969e 0 60 #d7dbd7 0 61 #9ea2b6 0 62 #9e0000 0 63 #efefef 0 64 #dfe3df 0 65 #86aeff 0 66 #7171ff 0 67 #414541 0 68 #bec3be 0 69 #bec3be 0 70 #bec3be 0 71 #bec3be 0 72 #df9e8e 0 73 #efefdf 0 74 #bec3be 0 75 #dfcbae 0 76 #dfe3df 0 77 #cfd3cf 0 78 #efefef 0 79 #d77918 0 80 #efe718 0 81 #8e7dbe 0 82 #d7d7d7 0 83 #8e8ea6 0 84 #494949 0 85 #8e6969 0 86 #595959 0 87 #616161 0 88 #b69a71 0 89 #4192ff 0 90 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996 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 2511 936 2568 993 -6 6 1519 806 1948 1073 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 1 0 0 1733.000 832.000 1599 832 1733 966 1867 832 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1733 993 1733 1073 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1666 977 1626 1046 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1801 977 1840 1046 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1878 899 1948 939 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1589 899 1519 939 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1626 939 1570 996 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1837 936 1895 993 -6 2 2 0 1 0 7 50 -1 42 0.000 0 0 -1 0 0 5 540 675 3600 675 3600 828 540 828 540 675 2 2 0 1 0 7 50 -1 42 0.000 0 0 -1 0 0 5 540 2205 3600 2205 3600 2358 540 2358 540 2205 2 1 0 5 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1458 1746 2682 1746 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 540 828 540 2205 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 -3 1080 -84 1080 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 12 1147 -70 1180 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 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Randpunkte des Hindernisses bzw. der Öffnung als Entstehungsort neuer Elementarwellen der gleichen Wellenlänge und Frequenz wie der einfallenden Welle vorstellen. Im Falle der Beugung an einem Hindernis schließen die Elementarwellen in einiger Entfernung vom Hindernis die Lücke. Im Falle der Beugung an einer Öffnung einer undurchlässigen Barriere kann man sich die Elementarwellen in genügend großer Entfernung als gerade Wellen vorstellen: =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 0 2475 5400 7875 6 3703 5252 4320 5530 4 0 0 40 -1 4 8 0.0000 0 93 360 3703 5345 Kleine\001 4 0 0 40 -1 4 8 0.0000 0 124 607 3703 5499 Krümmung\001 -6 6 2839 5005 3456 5283 4 0 0 40 -1 4 8 0.0000 0 124 607 2839 5252 Krümmung\001 4 0 0 40 -1 4 8 0.0000 0 93 360 2839 5098 Große\001 -6 1 3 1 1 0 7 47 -1 -1 4.000 1 0.0000 2469 5252 309 309 2469 5252 2777 5252 1 3 1 1 0 7 47 -1 -1 4.000 1 0.0000 2415 5238 1234 1234 2415 5238 3649 5238 1 3 1 1 0 7 47 -1 -1 4.000 1 0.0000 2469 5252 2160 2160 2469 5252 4629 5252 2 1 2 1 0 7 40 -1 20 3.000 0 0 -1 0 0 2 2160 4944 5246 4944 2 1 2 1 0 7 40 -1 20 3.000 0 0 -1 0 0 2 2160 5561 5246 5561 2 2 0 1 7 7 40 -1 20 4.000 0 0 -1 0 0 5 0 2475 4937 2475 4937 3894 0 3894 0 2475 2 2 0 1 7 7 40 -1 20 4.000 0 0 -1 0 0 5 0 6610 5122 6610 5122 7875 0 7875 0 6610 4 0 0 40 -1 4 8 0.0000 0 93 699 4690 5129 "Fast keine"\001 4 0 0 40 -1 4 8 0.0000 0 124 607 4690 5283 Krümmung\001 -6 =hend Besonders interessante Phänomene treten auf, wenn man die Beugung einer Welle nicht nur an einem Hindernis oder an einer Öff­nung untersucht, sondern an mehreren. In diesem Fall überlagern sich die an jedem Hindernis bzw. Öffnung entstehenden Elementarwellen; es kommt zur Interferenz. =for timestamp Fr Apr 21 17:32:19 CEST 2006 Berühmt ist die Beugung am Doppelspalt. Gerade Lichtwellen werden auf eine Blende gerichtet, die nur an zwei schmalen Schlitzen durchlässig ist. Auf einem hinter der Blende im Fernfeld positioniertem Schirm, der ankommenendes Licht registriert, zeigt sich ein Interferenzmuster. Grund für dieses Muster ist die Interferenz der HUYGENSschen Elementarwellen, die in den beiden Blendenöffnungen entstehen. =for timestamp Do Apr 20 17:03:54 CEST 2006 =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 2025 1350 450 450 2025 1350 2025 900 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 2025 1350 900 900 2025 1350 2025 450 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 2025 1350 1350 1350 2025 1350 2025 0 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 2025 1350 1814 1814 2025 1350 1800 -450 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 3825 1350 450 450 3825 1350 3825 900 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 3825 1350 900 900 3825 1350 3825 450 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 3825 1350 1350 1350 3825 1350 3825 0 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 3825 1350 1814 1814 3825 1350 4050 -450 1 3 0 1 0 0 40 -1 20 0.000 1 0.0000 2025 1350 23 23 2025 1350 2048 1350 1 3 0 1 0 0 40 -1 20 0.000 1 0.0000 3825 1350 23 23 3825 1350 3848 1350 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 2025 1350 2250 2250 2025 1350 2025 -900 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 2025 1350 2700 2700 2025 1350 2025 -1350 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 3825 1350 2250 2250 3825 1350 3825 -900 1 3 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 1 0.0000 3825 1350 2700 2700 3825 1350 3825 -1350 2 1 0 2 0 7 40 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 180 1350 1890 1350 2 1 0 2 0 7 40 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 2160 1350 3690 1350 2 1 0 2 0 7 40 -1 -1 6.000 0 0 7 0 0 2 3960 1350 5625 1350 2 1 1 1 0 7 40 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 225 3150 5625 3150 2 1 1 1 0 7 40 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 225 2700 5625 2700 2 1 1 1 0 7 40 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 225 2250 5625 2250 2 1 1 1 0 7 40 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 225 1800 5625 1800 2 1 0 2 0 7 45 -1 -1 6.000 0 0 -1 0 0 2 225 -2250 5625 -2250 2 1 0 1 0 7 40 -1 -1 4.000 0 0 7 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 2925 3600 2925 2475 2 2 0 1 7 7 45 -1 20 4.000 0 0 -1 0 0 5 5625 -2475 6525 -2475 6525 3825 5625 3825 5625 -2475 2 2 0 1 7 7 45 -1 20 4.000 0 0 -1 0 0 5 -225 1350 5850 1350 5850 4050 -225 4050 -225 1350 2 2 0 1 7 7 45 -1 20 4.000 0 0 -1 0 0 5 -675 -2475 225 -2475 225 3825 -675 3825 -675 -2475 4 0 0 40 -1 4 12 0.0000 0 105 105 3000 3075 c\001 4 0 0 45 -1 4 12 0.0000 0 180 1680 2145 -2370 Schirm (im Fernfeld)\001 =hend =for timestamp Fr Apr 21 17:32:19 CEST 2006 Das Interferenzmuster aus helleren und dunkleren Streifen hängt unter anderem von der Wellenlänge des einfallenden Lichts, der Breite und dem gegenseitigen Abstand der Schlitze, und der Entfernung des Sichtschirms von der Blende ab. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 5400 3150 23 23 5400 3150 5423 3150 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 3600 3150 23 23 3600 3150 3623 3150 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 6750 450 32 32 6750 450 6782 450 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 2700 450 7650 450 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 1 4050 450 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 5400 3150 6750 450 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 5513 3150 7650 3150 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 3713 3150 5288 3150 2 1 0 2 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 2700 3150 3488 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 0 2 3600 3150 6750 450 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 6750 3150 6750 450 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 6975 450 6975 3150 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 3600 3150 5040 3870 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 5400 3150 5040 3870 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 3600 -225 5400 -225 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 3600 3150 3600 0 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 5400 0 5400 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 5625 3150 5265 3870 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 6750 450 6750 0 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 5400 -225 6750 -225 3 0 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 3 4185 2655 4545 2790 4545 3150 0.000 1.000 0.000 3 0 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 3 6120 3150 6120 2880 5625 2655 0.000 1.000 0.000 3 0 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 3 4590 3150 4590 3420 5130 3645 0.000 1.000 0.000 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 3960 3015 alpha\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 5580 3015 alpha\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 540 5580 3600 Delta l\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 105 7110 1800 d\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 105 4455 -360 a\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 90 6030 -360 x\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 4725 3375 alpha\001 =hend Ist der Sichtschirm weit von der Blende entfernt, sind die Winkel der beiden Schlitze zu einem Punkt M<(x,0)> des Schirms etwa gleich groß. Für diesen Fall können wir näherungsweise die Orte der größten und der kleinsten Helligkeit ermitteln: M<\cos\alpha = \frac{\Delta l}{a}; \quad \tan\alpha = \frac{d}{x};> M<\alpha> ist sehr klein, wenn der Schirm weit von der Blende entfernt ist. Für kleine Winkel stimmen der Wert des Sinus mit dem des Kosinus und des Tangens näherungsweise überein; es gilt: M<\frac{\Delta l}{a} = \cos\alpha \approx \tan\alpha = \frac{d}{x};> ⇒ M<\frac{\Delta l}{a} \approx \frac{d}{x};> ⇒ M M<\Delta l> ist der Gangunterschied -- die Wegdifferenz -- der Elementarwellen, die in den beiden Schlitzen entstehen. Konstruktive Interferenz -- helle Punkte auf dem Schirm -- tritt dann ein, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge M<\lambda> der Elementarwellen ist: M Die Wellen vernichten sich gegenseitig, wenn der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist. M Als Thomas Young 1805 den Versuch erstmalig durchführte, demonstrierte er die Wellennatur des Lichts. Zu besonderer Be­rühmt­heit ist das Doppelspaltexperiment deswegen gelangt, weil sich ein Interferenzmuster auch dann zeigt, wenn man den Versuch mit "Teilchen" (beispielsweise mit Elektronen -- 1927 Clinton Davisson und Lester Germer) statt Licht ausführt -- eine Demonstration des (irreführend benannten) Welle--Teilchen-Dualismus'. =for timestamp Do Apr 20 17:03:54 CEST 2006 =begin comment #!/usr/bin/perl use warnings; use strict; use constant { ALPHA => "pi/6", A => [0,10,0.125], # A => [0,10,1], # T => [0,3.141,0.025], T => [0,3.141,0.0125], WHAT => 0, }; sub emit { my $t = shift; my $g; $g .= q{ f = 1 l = 1 f(a,alpha,x,y,t) = t < a*sin(alpha)/(l*f) ? 0 : sin(2*pi*(f*(t-a*sin(alpha)/(l*f))+1/l*sqrt((x-a)**2+y**2))) yr(a,alpha,x,t) = t < a*sin(alpha)/(l*f) ? 0 : sqrt((l/4+l*0-l*f*(t-a*sin(alpha)/(l*f)))**2-(x-a)**2) }; $g .= WHAT == 0 ? q{ set isosamples 30 set view 21,95 set hidden3d set xrange [ -30 : 30 ] set yrange [ -30 : 30 ] set zrange [ -40 : 40 ] } : q{ set samples 1000 set xrange [ -15 : 15 ] set yrange [ -15 : 15 ] }; my $desc = sprintf "alpha=%s, a=%d..%d:by(%d), t=%.2f", ALPHA, @{A()}, $t; $g .= WHAT == 0 ? 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