=for timestamp So Apr 30 14:50:46 CEST 2006 =head2 80. Hausaufgabe =head3 Kohärenz Kohärenz ist eine kontinuierliche Eigenschaft von interferierenden Wellen; es gibt Wellen, die vollständig kohärent sind, welche, die vollständig inkohärent sind, und Wellen, die weder vollständig kohärent noch vollständig inkohärent sind. Kohärenz definiert man üblicherweise über die Intensität der Ü­ber­la­ge­rung aller interferierenden Wellen [2]: M I Interferiert eine ideale Sinuswelle mit einer zeitverzögerten Kopie von sich selbst (technisch realisierbar durch halb­durch­läs­si­ge Spiegel, wie beispielsweise beim Michelsoninterferometer), so ist M: =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 16:58:27 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Überlagerung einer idealen Sinuswelle mit einer zeitverzögerten Kopie" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 15.000000 ] set yrange [ -1.500000 : 1.500000 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions func0(x) = sin(x) func1(x) = sin(x+1.) # Plotting plot func0(x) t "Originalwelle" w l lt 1, func1(x) t "Zeitverzögerte Kopie" w l lt 2 =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 16:58:27 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 15.000000 ] set yrange [ -2.000000 : 2.000000 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions func0(x) = sin(x) func1(x) = sin(x+1.) # Plotting plot func0(x) + func1(x) t "Überlagerung" w l lt 1 =hend Der minimale Ausschlag ist M<0 \,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}>, der maximale M<\hat A>. Die Intensität ist direkt proportional zum Quadrat des Ausschlags; da wir die vollständige Formel für M nicht kennen (und diese für uns auch nicht interessant ist), fassen wir alle Konstanten, die wir nicht weiter berücksichtigen wollen, als M zusammen. Damit ist die Kohärenz dieses Szenarios: M Überlagert eine ideale Sinuswelle eine zeitverzögerte Kopie von ihr selbst, ist M; ideale Sinuswellen sind vollständig ko­hä­rent. Bemerkbar macht sich das dadurch, dass Interferenzmuster der Überlagerung -- beispielsweise am Schirm eines Michelsoninterferometers -- sehr gut sichtbar sind. Interferieren dagegen zwei Wellen mit M 1>, so ist die Sichtbarkeit (die Schärfe, der Kontrast) weniger gut. Kohärenz ist also auch ein Maß für die Ausgeprägtheit des Interferenzmusters. In der Tat wird diese Eigenschaft oft auch als Definition der Kohärenz genutzt. Man bezeichnet eine Welle als inkohärent, wenn M kleiner als ein bestimmter, zuvor ausgemachter Wert ist. Übliche Schwellenwerte sind M<66 \,\%>, M<50 \,\%> und M<\frac{1}{e}>. Den maximalen Weglängenunterschied, den zwei Lichtwellen, die einer gemeinsamen Quelle entstammen, haben dürfen, damit noch ein sichtbares Interferenzmuster entsteht, bezeichnet man als Ko­hä­renz­län­ge M. Über M<\frac{l_c}{c} = t_c> kann man die Kohärenzlänge in die Kohärenzzeit umrechnen. Die Kohärenzzeit und -länge idealer Sinuswellen ist "unendlich"; ideale Sinuswellen sind immer vollständig kohärent. Sonnenlicht hat eine Kohärenzlänge von etwa einem Mikrometer [13]. Die Kohärenzlängen von Lasern liegen im Bereich einiger Zentimeter bis sogar mehreren Kilometern [14]. =head3 Michelsoninterferometer =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 5400 2363 5625 2588 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 0 3 5400 2363 5625 2475 5400 2588 -6 6 6300 2363 6525 2588 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 0 3 6525 2363 6300 2475 6525 2588 -6 6 2925 2363 3150 2588 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 0 3 2925 2363 3150 2475 2925 2588 -6 6 4613 1162 4838 1350 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 0 3 4838 1162 4726 1350 4613 1162 -6 6 4613 1800 4838 2025 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 0 3 4838 2025 4726 1800 4613 2025 -6 6 4860 2700 6300 3150 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 945 4905 2835 Halbdurch-\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1365 4905 3060 lässiger Spiegel\001 -6 6 900 2790 2880 3240 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 915 900 2970 Lichtquelle\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1950 900 3195 (Laser, Glühbirne, etc.)\001 -6 6 4613 3488 4838 3713 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 7 0 0 3 4838 3488 4726 3713 4613 3488 -6 2 2 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 5 900 2250 2250 2250 2250 2700 900 2700 900 2250 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 2250 2475 4725 2475 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 4725 2475 4725 4050 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 4725 675 4725 2475 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 4725 2475 6975 2475 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 6975 1800 6975 3150 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 3600 4050 5850 4050 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 3825 675 5625 675 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 4275 2925 5175 2025 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 7650 675 7650 2520 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 4725 0 6975 0 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 2250 0 4725 0 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 2250 2025 2250 225 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 6975 1575 6975 225 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 5850 675 7425 675 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 7650 2475 7650 4050 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 6075 4050 7425 4050 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1725 3870 540 Beweglicher Spiegel\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 180 1215 7110 1890 Fester Spiegel\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 570 4410 4320 Schirm\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 195 3510 -90 s1\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 195 5760 -90 s2\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 195 7740 1620 s3\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 195 7740 3330 s4\001 =hend =over Die wichtigsten grundlegenden Gesetze und Tatsachen der Physik sind entdeckt [...] und daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie jemand durch neue Entdeckungen ergänzt, äußerst gering. -- Albert Abraham Michelson, 1903 [5] =back Eine Möglichkeit der Bestimmung der Kohärenz eines Wellenfelds geht auf Albert Abraham Michelson zurück, den ersten amerikanischen Physiknobelpreisträger, der sich von 1887 bis etwa 1920 mit Interferometrie beschäftigte. Bekannt ist er für sein Michelsoninterferometer und den oben gedruckten Ausspruch [3]. Beim Michelsoninterferometer wird eine eingehende Lichtwelle zuerst durch einen Strahlteiler, üblicherweise einem halb­durch­läs­si­gen Spiegel, in zwei Wellen geteilt. Der durchgelassene Teil der Welle wandert zum festen Spiegel rechts, zurück zum Strahlteiler und schließlich zum Schirm. Der reflektierte Teil der Welle wandert zum beweglichen Spiegel oben, zurück zum Strahlteiler und schließlich ebenfalls zum Schirm, wo transmittierte und reflektierte Teilwelle interferieren [4]. Das Interferenzmuster hängt von den Phasen der beiden Teilwellen ab am Schirm ab. Hat eine der beiden Teilwellen beispielsweise gerade ein Maximum und die andere ein Minimum, so löschen sich beide vollständig aus; man spricht von vollständiger destruktiver Interferenz. Sind die Ausschläge der beiden Teilwellen beim Eintreffen auf dem Schirm beide maximal, kommt es zu vollständiger konstruktiver Interferenz. Zur Bestimmung der Kohärenz der einfallenden Welle ist die Weg­län­gen­dif­fe­renz M<\Delta s> interessant. Diese errechnet sich durch die Differenz der Längen, die die beiden Teilwellen zurücklegen, bis sie auf dem Schirm eintreffen. M<\Delta s = \underbrace{\left(s_1 + s_2 + s_2 + s_4\right)}_{\text{Transmittierte Welle}} - \underbrace{\left(s_1 + s_3 + s_3 + s_4\right)}_{\text{Reflektierte Welle}} = 2 s_2 - 2 s_3;> Es stellt sich nun heraus, dass sich ein klar sichtbares Interferenzmuster nur dann herausbildet, wenn die Weglängendifferenz M<\Delta s> kleinergleich als die Kohärenzlänge M ist: M<\Delta s \leq l_c;> Ist M<\Delta s E l_c>, wird das sichtbare Interferenzmuster unscharf. Ist die Weglängendifferenz sehr viel größer als die Kohärenzlänge, so bildet sich fast gar kein sichtbares Muster mehr aus. Variiert man M, verschiebt man also den beweglichen Spiegel, ändert sich also die Sichtbarkeit des Interferenzmuster. Ändert man M so, dass das Interferenzmuster gerade noch sehr scharf ist, ist der Weglängenunterschied näherungsweise gleich der Kohärenzlänge. Die wiederholte Verwendung des einschränkenden Adjektivs "sichtbar" in den vorhergehenden Absätzen hat einen Grund: Streng genommen bilden sich nämlich immer Interferenzmuster aus -- schließlich interferieren die beiden Teilwellen immer, es gibt ja auch keinen Grund, wieso sie es nicht tun sollten. Allerdings ändert sich das Muster zeitlich sehr schnell, wenn die Weglängendifferenz sehr viel größer als die Kohärenzlänge ist -- mal interferieren die Wellen konstruktiv, dann destruktiv, dann wieder konstruktiv. Im Mittel wird weder destruktive noch konstruktive Interferenz bevorzugt; für unsere Augen entsteht dann nicht der Eindruck eines Musters, sondern nur der einer beleuchteten Fläche. Es ist nicht so, als dass sich zwei Wellenzüge gegenseitig "beschnuppern" würden, und dann, je nachdem ob die beiden Wellenzüge genügend kohärent sind oder nicht, interferieren. =head3 Zeitliche Kohärenz Ein Wellenfeld ist genau dann zeitlich kohärent, wenn die Phasendifferenz zwischen dem Signal der überlagerten Gesamtwelle in einem festen Punkt gegenüber einem anderen festen Punkt zu jeder Zeit gleich ist. Anders ausgedrückt ist zeitliche Kohärenz ein Maß für die Einfarbigkeit eines Wellenfelds. Beispiele: =over =item * In einer Wellenwanne befinden sich an zwei unterschiedlichen, aber festen Orten je ein Korken, welche sich mit den Wellen in der Wellenwanne bewegen. Nun werden gerade Wellen gleicher Frequenz (M<\omega> konst.) und gleicher Wellenausbreitungsrichtung (M<\vec k> konst.) erzeugt. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 -45 405 2745 3195 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 1350 1800 1350 1350 1350 1800 1350 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 675 675 1350 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1556 455 2205 2850 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1980 615 2520 2475 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 345 930 975 3135 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 135 1245 615 2955 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 1106 500 1800 3075 -6 =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 21:11:34 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Zwei feste Punkte, variable Zeit" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 20.000000 ] set yrange [ -2.2 : 2.2 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions x(b1,b2, a1,a2, alpha) = (b2 + b1/tan(alpha) - a2 + a1*tan(alpha)) / (tan(alpha) + 1/tan(alpha)) y(b1,b2, a1,a2, alpha) = tan(alpha)*x(b1,b2, a1,a2, alpha) + a2-a1*tan(alpha) d(b1,b2, a1,a2, alpha) = sqrt((b1-x(b1,b2, a1,a2, alpha))**2 + (b2-y(b1,b2, a1,a2, alpha))**2) a1 = -40 a2 = -60 f(x,y,t, alpha, w) = sin(w*t + w*d(x,y, a1,a2, alpha)) f1(x,y,t) = f(x,y,t, -30./180.*pi, 1) + f(x,y,t-0.7, -30./180.*pi, 1) # Plotting plot f1(3,4,x) t "Schwingung in einem Punkt A" w l lt 1, \ f1(4,9,x) t "Schwingung in einem Punkt B" w l lt 2 =hend Betrachtet man nun die Bewegung der Korken, so wird man beispielsweise feststellen, dass beide immer zugleich nach oben schwingen, dass beide immer zugleich das Schwingungsmaximum erreichen, dass beide immer zugleich nach unten schwingen usw. (Phasendifferenz M<0^\circ>). Die Wellen sind in diesem Fall zeitlich kohärent. Es ist aber auch möglich, dass, immer dann, wenn der eine Korken sein Maximum erreicht hat, der andere Korken sein Minimum erreicht hat und umgekehrt (Phasendifferenz M<180^\circ>). Auch in diesem Fall würde man von zeitlicher Kohärenz sprechen. Und auch die Fälle mit anderen Phasendifferenzen würde man der zeitlichen Kohärenz zuordnen. Man spricht nur dann nicht von zeitlicher Kohärenz, wenn sich die Phasendifferenz mit der Zeit ändert, also beispielsweise wenn zu einem Zeitpunkt beide Korken ihr Maximum erreicht haben, und zu einem anderen nur einer der beiden sein Maximum erreicht hat. =item * In einer Wellenwanne werden mehrere gerade Wellen gleicher Frequenz (M<\omega> konst.), aber unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung (M<\vec k> nicht konstant) erzeugt. Auch hier wird man wieder feststellen, dass die Phasendifferenz der Schwingungen in zwei festen Punkten zeitlich unveränderlich ist; auch dieser Fall ist also zeitlich kohärent. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 4500 1800 1350 1350 4500 1800 4500 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 3510 2700 5490 975 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 4830 3090 4350 480 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 5835 1575 4365 3135 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 5385 2835 3795 645 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 5670 2415 3180 1665 =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 21:11:34 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Zwei feste Punkte, variable Zeit" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 20.000000 ] set yrange [ -2.6 : 2.6 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions x(b1,b2, a1,a2, alpha) = (b2 + b1/tan(alpha) - a2 + a1*tan(alpha)) / (tan(alpha) + 1/tan(alpha)) y(b1,b2, a1,a2, alpha) = tan(alpha)*x(b1,b2, a1,a2, alpha) + a2-a1*tan(alpha) d(b1,b2, a1,a2, alpha) = sqrt((b1-x(b1,b2, a1,a2, alpha))**2 + (b2-y(b1,b2, a1,a2, alpha))**2) a1 = -40 a2 = -60 f(x,y,t, alpha, w) = sin(w*t + w*d(x,y, a1,a2, alpha)) f2(x,y,t) = f(x,y,t, -20./180.*pi, 1) + f(x,y,t-0.7, -30./180.*pi, 1) + f(x,y,t, -40./180.*pi, 1) # Plotting plot f2(3,4,x) t "Schwingung in einem Punkt A" w l lt 1, \ f2(4,9,x) t "Schwingung in einem Punkt B" w l lt 2 =hend =item * Erzeugt man mehrere Wellen unterschiedlicher Frequenz, so ist die Phasendifferenz zwischen zwei Orten zeitlich nicht konstant, die Wellen sind also zeitlich inkohärent. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 7650 1800 1350 1350 7650 1800 7650 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 6975 675 7650 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 8306 680 8820 2475 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 6435 1245 6915 2955 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 6645 930 7275 3135 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 7856 455 8520 2850 2 1 3 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 7406 500 8100 3075 =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 21:11:34 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Zwei feste Punkte, variable Zeit" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 20.000000 ] set yrange [ -5 : 5 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions x(b1,b2, a1,a2, alpha) = (b2 + b1/tan(alpha) - a2 + a1*tan(alpha)) / (tan(alpha) + 1/tan(alpha)) y(b1,b2, a1,a2, alpha) = tan(alpha)*x(b1,b2, a1,a2, alpha) + a2-a1*tan(alpha) d(b1,b2, a1,a2, alpha) = sqrt((b1-x(b1,b2, a1,a2, alpha))**2 + (b2-y(b1,b2, a1,a2, alpha))**2) a1 = -40 a2 = -60 f(x,y,t, alpha, w) = sin(w*t + w*d(x,y, a1,a2, alpha)) f3(x,y,t) = f(x,y,t, -30./180.*pi, 0.111) + f(x,y,t, -30./180.*pi, 1) + f(x,y,t, -30./180.*pi, 4.4) + f(x,y,t, -30./180.*pi, 2) + f(x,y,t, -30./180.*pi, 1.8) f3hack(x,y,t) = 2*sin(sqrt(x**2+y**2)) + f(x,y,t, -80./180.*pi, 1.9) + f3(x,y,t) # Plotting plot f3(3,4,x) t "Schwingung in einem Punkt A" w l lt 1, \ f3hack(4,9,x) t "Schwingung in einem Punkt B" w l lt 2 =hend =back =head3 Räumliche Kohärenz Ein Wellenfeld ist genau dann räumlich kohärent, wenn die Phasendifferenz zwischen dem Signal der überlagerten Gesamtwelle zu einem festen Zeitpunkt gegenüber einem anderen festen Zeitpunkt in jedem Ort gleich ist. Anders ausgedrückt ist zeitliche Kohärenz ein Maß für die "Geradheit" bzw. "Ebenheit" eines Wellenfelds. Beispiele: =over =item * Mehrere ebene Wellen der gleichen Frequenz (M<\omega> konst.) sind räumlich kohärent. Die Richtung der Wellen spielt dabei keine Rolle. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 900 900 1800 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 900 900 900 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1125 900 1125 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1350 900 1350 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1575 900 1575 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 900 1800 2700 -6 6 2025 225 3825 2250 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 2146 675 3046 2234 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 2340 562 3240 2121 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 2535 450 3435 2009 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 2730 337 3630 1896 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 2925 225 3825 1784 -6 6 2025 1350 3825 3375 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 2925 1366 2025 2925 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 3120 1479 2220 3038 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 3315 1591 2415 3150 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 3510 1704 2610 3263 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 3704 1816 2804 3375 -6 =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 21:11:34 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Zwei feste Zeitpunkte, variabler Ort" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 20.000000 ] set yrange [ -2.6 : 2.6 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions x(b1,b2, a1,a2, alpha) = (b2 + b1/tan(alpha) - a2 + a1*tan(alpha)) / (tan(alpha) + 1/tan(alpha)) y(b1,b2, a1,a2, alpha) = tan(alpha)*x(b1,b2, a1,a2, alpha) + a2-a1*tan(alpha) d(b1,b2, a1,a2, alpha) = sqrt((b1-x(b1,b2, a1,a2, alpha))**2 + (b2-y(b1,b2, a1,a2, alpha))**2) a1 = -40 a2 = -60 f(x,y,t, alpha, w) = sin(w*t + w*d(x,y, a1,a2, alpha)) # fa(x,y,t, w, bx) = sin(w*t + w*sqrt((x-bx)**2 + (y-bx*bx)**2)) f2(x,y,t) = f(x,y,t, -20./180.*pi, 1) + f(x,y,t-0.7, -30./180.*pi, 1) + f(x,y,t, -40./180.*pi, 1) # Plotting plot f2(x,1.7*x,3) t "Schwingung zu einer Zeit t_1" w l lt 1, \ f2(x,1.7*x,6.21) t "Schwingung zu einer Zeit t_2" w l lt 2 =hend =item * Sogar mehrere gerade Wellen unterschiedlicher Frequenz (M<\omega> nicht konstant) sind räumlich kohärent [Achtung, widerspricht Unterricht, entspricht aber mehreren Quellen [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12]]: =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 6 900 900 1800 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 900 900 900 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1125 900 1125 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1350 900 1350 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1575 900 1575 2700 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1800 900 1800 2700 -6 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 2925 1366 2025 2925 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 3120 1479 2220 3038 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 3315 1591 2415 3150 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 3510 1704 2610 3263 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 3704 1816 2804 3375 2 1 4 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 2146 675 3046 2234 2 1 4 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 2340 562 3240 2121 2 1 4 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 2535 450 3435 2009 2 1 4 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 2730 337 3630 1896 2 1 4 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 7 0 0 2 2925 225 3825 1784 =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 21:11:34 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Zwei feste Zeitpunkte, variabler Ort" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 20.000000 ] set yrange [ -6 : 6 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions x(b1,b2, a1,a2, alpha) = (b2 + b1/tan(alpha) - a2 + a1*tan(alpha)) / (tan(alpha) + 1/tan(alpha)) y(b1,b2, a1,a2, alpha) = tan(alpha)*x(b1,b2, a1,a2, alpha) + a2-a1*tan(alpha) d(b1,b2, a1,a2, alpha) = sqrt((b1-x(b1,b2, a1,a2, alpha))**2 + (b2-y(b1,b2, a1,a2, alpha))**2) a1 = -40 a2 = -60 f(x,y,t, alpha, w) = sin(w*t + w*d(x,y, a1,a2, alpha)) # fa(x,y,t, w, bx) = sin(w*t + w*sqrt((x-bx)**2 + (y-bx*bx)**2)) f4(x,y,t) = f(x,y,t, -20./180.*pi, 1) + f(x,y,t-0.7, -30./180.*pi, 1) + f(x,y,t, -40./180.*pi, 1) + f(x,y,t, -20./180.*pi, 0.7) + f(x,y,t-0.7, -30./180.*pi, 0.7) + f(x,y,t, -40./180.*pi, 0.7) + f(x,y,t, 37./180.*pi, 1.9) # Plotting plot f4(x,1.7*x,3) t "Schwingung zu einer Zeit t_1" w l lt 1, \ f4(x,1.7*x,6.21) t "Schwingung zu einer Zeit t_2" w l lt 2 =hend =item * Mehrere punktförmige Wellen sind räumlich inkohärent. Die Frequenz der Wellen spielt keine Rolle [Achtung, widerspricht Unterricht, entspricht aber mehreren Quellen [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12]]: =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 1800 1800 450 450 1800 1800 2250 1800 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 1800 1800 225 225 1800 1800 2025 1800 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 1800 1800 675 675 1800 1800 2475 1800 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 3600 2700 225 225 3600 2700 3600 2475 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 3600 2700 450 450 3600 2700 3600 2250 1 3 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 1 0.0000 3600 2700 675 675 3600 2700 3600 2025 =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 21:11:34 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Zwei feste Zeitpunkte, variabler Ort" set xlabel "\nt\n" set ylabel "y(x0,t)\n" set xrange [ -0.001000 : 20.000000 ] set yrange [ -6 : 6 ] set grid set xtics 100.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions x(b1,b2, a1,a2, alpha) = (b2 + b1/tan(alpha) - a2 + a1*tan(alpha)) / (tan(alpha) + 1/tan(alpha)) y(b1,b2, a1,a2, alpha) = tan(alpha)*x(b1,b2, a1,a2, alpha) + a2-a1*tan(alpha) d(b1,b2, a1,a2, alpha) = sqrt((b1-x(b1,b2, a1,a2, alpha))**2 + (b2-y(b1,b2, a1,a2, alpha))**2) a1 = -40 a2 = -60 f(x,y,t, alpha, w) = sin(w*t + w*d(x,y, a1,a2, alpha)) fa(x,y,t, w, bx) = sin(w*t + w*sqrt((x-bx)**2 + (y-bx*bx)**2)) fffa1(x,y,t) = fa(x,y,t, 1, 2) + fa(x,y,t, 1, -3) + fa(x,y,t, 1, 9) + fa(x,y,t, 1.11, 2.3) + fa(x,y,t, 0.64, 4) # Plotting plot fffa1(x,1.7*x,3) t "Schwingung zu einer Zeit t_1" w l lt 1, \ fffa1(x,1.7*x,6.21) t "Schwingung zu einer Zeit t_2" w l lt 2 =hend =back =head3 Intensität Intensität kennen wir flüchtig bereits unter einem anderen Begriff, Energiestrom pro Fläche. Die Einheit der Intensität ist M<\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s} \cdot \mathrm{m}^2}\right]>. Intensitäten kann man immer angeben, wenn Energie fließt. Für uns besonders interessant ist Intensität aber im Kontext von (elektromagnetischen) Wellen. =over =item * Intensität ist indirekt proportional zum Quadrat der Entfernung von der Lichtquelle [1]. M =for latex \newenvironment{kleiner}{\begin{small}}{\end{small}} =for latex \begin{kleiner} Grund: Summiert (integriert) man die Intensitäten von jedem Punkt einer Hüllfläche um die Lichtquelle auf, so erhält man den gesamten Energiestrom (die Gesamtleistung). =for latex $\displaystyle {} \underbrace{I_E = P}_{\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s}}\right]} = {} \int\kern-0.7em\int\kern-1.4em\bigcirc\kern.7em {} \underbrace{I(\vec r)}_{\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{s} \cdot \mathrm{m}^2}\right]} {} \,\underbrace{\mathrm{d}A}_{\left[\mathrm{m}^2\right]};$\par{} Im einfachen Fall der kugelförmigen Hüllfläche mit Radius M können wir das Integral auflösen: M Aufgelöst nach M erhält man für die Intensität im Abstand M von der Punktquelle: M =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 15:55:44 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Intensitätsverlauf einer Punktquelle bei gleichbleibender Amplitude" set xlabel "\nr/m\n" set ylabel "I/(J/(s m^2))\n" set xrange [ -0.001000 : 8.000000 ] set yrange [ -0.250000 : 6.000000 ] set grid set xtics 200.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions func0(x) = 1./(x**2.) # Plotting plot func0(x) t "Intensität" w l lt 1 =hend =for latex \end{kleiner} =item * Außerdem ist die Intensität direkt proportional zum Quadrat der Amplitude der Überlagerungswelle: M =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Sun, 30 Apr 2006 15:55:44 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Intensitätsverlauf einer Punktquelle bei gleichbleibendem Quellabstand" set xlabel "\nA/(V/m)\n" set ylabel "I/(J/(s m^2))\n" set xrange [ -0.001000 : 8.000000 ] set yrange [ -0.250000 : 32.000000 ] set grid set xtics 200.000000 set ytics 100.000000 # Function definitions func0(x) = x**2. # Plotting plot func0(x) t "Intensität" w l lt 1 =hend =back =head3 Herleitung der Gleichung für ebene Wellen =for latex \newenvironment{kleiner}{\begin{small}}{\end{small}} =for latex \begin{kleiner} Möchte man verschiedene Szenarien mittels Graphenplotter visualisieren, muss man natürlich die Gleichung für ebene Wellen kennen. Die Gleichung für Kreiswellen ist einfach -- M Bei Kreiswellen ist die Entfernung von einem bestimmten Wellenpunkt M<(x,y)> zur punktförmigen Quelle M<(x_{\text{Quelle}},y_{\text{Quelle}})> wichtig. Bei geraden Wellen ist die Quelle idealisiert aber eine Gerade, kein einzelner Punkt. Entscheidend ist also die Entfernung von einem bestimmten Wellenpunkt M<(x,y)> zur Quellgeraden (M). Das Problem dabei ist, eine Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden zu finden. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1800 1800 23 23 1800 1800 1823 1800 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 2340 1215 23 23 2340 1215 2363 1215 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1350 450 4050 1800 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 0 0 2 2250 900 1800 1800 3 0 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 3 2025 1350 2475 1575 2700 1125 0.000 1.000 0.000 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1035 2925 1125 Quellgerade\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1020 675 2025 Wellenpunkt\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1005 675 2250 B(x_B, y_B)\001 =hend Um sie zu finden, legen wir ein Geradenbüschel durch den allgemeinen Punkt M, und überprüfen dann, welche der Geraden des Büschels senkrecht zur Quellgeraden steht. Anschließend berechnen wir die Entfernung von M zum Schnittpunkt von Quellgerade und der Senkrechten. M (M ist ein beliebiger Punkt auf der Quellgeraden.) M M (Gesucht ist die Schargerade, die senkrecht zur Quellgeraden steht.) M (Senkrechte zur Quellgeraden durch M) M (Schnittpunkt der Senkrechten mit der Quellgeraden) M Setzt man dieses M in die Geradengleichung der Quellgeraden ein, so erhält man die M-Koordinate des Schnittpunkts. Mit bekannter M- und M-Koordinate kann man dann die Entfernung zur Quellgeraden wie gewohnt mittels dem Satz des Pythagoras bestimmen. =for latex \end{kleiner} =head3 Abschließende Bemerkung Viele Quellen über Kohärenz gehen sehr schnell auf technisch wichtige Details über Laser ein -- welche Art von Laser, wie müssen Laser auf "optical tables" befestigt werden, wie können Er­schüt­te­run­gen am besten gedämpft werden, usw. --, erläutern die Bedeutung von Kohärenz im Rahmen der Quantenphysik (besonders auffällig war das Bose--Einstein-Kondensat), oder nutzen vektorielle Wellengleichungen und Fouriertransformationen, zu deren Interpretation wir noch nicht in der Lage sind. Dies behindert natürlich den Lernprozess: Man möchte weniger über die genauen technisch relevanten Details bescheid wissen, sondern sich erst ein Gesamtbild machen. Später kann man sich dann mit Details auseinandersetzen. Ein großes Problem war auch, dass es mir nicht möglich war, ein widerspruchsfreies Bild über Kohärenz herzuleiten, solange ich an der Korrektheit unserer Unterrichtsstunde über Kohärenz festhielt; alle Quellen, die ich erfolgreich interpretieren konnte, widersprachen dem Tafelbild. Da die Quellen unter sich widerspruchsfrei waren, die Definitionen von zeitlicher und räumliche Kohärenz nach den Quellen (Phasendifferenz bei zwei festen Punkten und variabler Zeit bzw. zwei festen Zeitpunkten und variablen Ort) mir einleuchteten und die Graphen der Unterrichtsszenarien die Definitionen auch unterstützten, entschied ich mich mangels Alternativen, der Literatur zu folgen. Wird Kohärenz wirklich so unterschiedlich verstanden? =head3 Quellen =over =item [1] Wikipedia-Eintrag zu Intensität: C =item [2] Grundlagen von zeitlicher und räumlicher Kohärenz im Hinblick auf Laserphysik von Rico Poser: C (unten) =item [3] Wikipedia-Eintrag zu Michelson: C =item [4] Nichtöffentliches Vorlesungsskript von Mark Wolf über Wellenoptik =item [5] I von Hermann Maurer, veröffentlicht im Informatik-Spektrum 23 (2000) 1, S. 51--59 =item [6] Englischer Wikipedia-Eintrag zu Kohärenz: C =item [7] Mail von Kai-Martin Knaak über räumliche Kohärenz: C =item [8] I von William Beaty: C =item [9] Wikipedia-Eintrag zu kohärenter Strahlung: C =item [10] Mail von "Billy Fish" über räumliche und zeitliche Kohärenz: C =item [11] Mail von Gleb Vdovin über die Beziehung von räumlicher Kohärenz und der "Geradheit" von Wellen: C =item [12] Mail von Doug Goncz über den Zusammenhang von räumlicher Kohärenz und Kreiswellen: C =item [13] Skript über Wellenoptik von T. Hebbeker: C =item [14] Englischer Wikipedia-Eintrag zur Kohärenzlänge: C =back