=for timestamp Fr Mai 5 21:20:33 CEST 2006 =head2 83. Hausaufgabe =head3 Tricksereien beim Interferenzexperiment zur Wel­len­län­gen­be­stim­mung Möchte man die Wellenlänge einer monochromatischen Lichtwelle messen, kann man das nur indirekt tun, da die Wellenlänge üblicherweise im Bereich einiger hundert Nanometer liegt; solch kleine Längen kann man unmöglich direkt messen. Stattdessen betrachtet man die Interferenzphänomene der Lichtwelle und schließt dann vom Interferenzmuster auf die Wellenlänge. =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 1800.000 2025.000 1800 1800 2025 2025 1800 2250 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 1800.000 2025.000 1800 1575 2250 2025 1800 2475 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 1800.000 2025.000 1800 1350 2475 2025 1800 2700 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 1800.000 3825.000 1800 3600 2025 3825 1800 4050 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 1 0 0 1800.000 3825.000 1800 4275 2250 3825 1800 3375 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 1800.000 3825.000 1800 3150 2475 3825 1800 4500 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 5715.000 2835.000 5805 2565 5985 2745 5985 2925 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 2970.000 3712.500 3015 3465 3195 3600 3195 3825 6 9750 -90 10155 1410 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 180 1125 10020 -90 Der "gleiche"\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 180 1500 9795 -90 Punkt (siehe Text)\001 -6 6 9225 2700 12150 3150 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 9225 2925 10238 2925 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1785 10350 2970 Maximum 0. Ordnung\001 -6 6 10305 1785 10755 2685 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 855 10575 1785 Maximum-\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 825 10350 1785 abstand d\001 -6 6 10305 3150 10755 4050 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 855 10575 3150 Maximum-\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 825 10350 3150 abstand d\001 -6 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 -225 32 32 9000 -225 9032 -225 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 1575 32 32 9000 1575 9032 1575 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1800 2025 32 32 1800 2025 1832 2025 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 1800 3825 32 32 1800 3825 1832 3825 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 2925 135 135 9000 2925 9135 2925 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 1575 90 90 9000 1575 9090 1575 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 225 45 45 9000 225 9045 225 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 4275 90 90 9000 4275 9090 4275 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 5625 45 45 9000 5625 9045 5625 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 9000 -225 90 90 9000 -225 9090 -225 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 450 1350 450 4500 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 675 1350 675 4500 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 900 1350 900 4500 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1125 1350 1125 4500 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1350 1350 1350 4500 2 1 1 1 0 7 50 -1 -1 4.000 0 0 -1 0 0 2 1575 1350 1575 4500 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1800 4050 1800 6300 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1800 2250 1800 3600 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 1800 -450 1800 1800 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1800 3825 9000 3825 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1800 3825 9000 1575 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 8.000 0 0 -1 0 0 2 9000 -450 9000 6300 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1800 2025 9000 -225 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1800 2925 9000 2925 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1803 2022 2295 3671 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 1 1575 2025 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1800 3825 225 3825 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1800 2025 225 2025 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 0 2025 0 3825 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 2623 1765 3115 3414 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 2160 5060 2675 4900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 2296 3676 2630 4765 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 1792 3827 2120 4930 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 4 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 9225 -225 9675 -225 9675 1575 9225 1575 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 9225 4275 10238 4275 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 9225 5625 10238 5625 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 9225 1575 10238 1575 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 9225 225 10238 225 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 10238 1575 10238 2925 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 10238 2925 10238 4275 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 1800 6525 9000 6525 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 525 2430 5235 Gang-\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 495 2430 5460 unter-\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 555 2430 5685 schied\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 615 2430 5910 Delta s\001 4 0 0 50 -1 4 12 1.5708 0 180 1245 -75 3525 Spaltabstand b\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1785 10350 4320 Maximum 1. Ordnung\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1785 10350 5670 Maximum 2. Ordnung\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1785 10350 1620 Maximum 1. Ordnung\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 1785 10350 270 Maximum 2. Ordnung\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 2655 3735 alpha\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 5445 2835 alpha\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 3375 3885 6750 Abstand des Doppelspalts zum Schirm a\001 =hend Über die trigonometrische Beziehung M<\sin\alpha = \frac{\Delta s}{b}> lässt sich der Gangunterschied zu M<\Delta s = b \cdot \sin\alpha> bestimmen. Der Abstand des Doppelspalts zum Schirm M und der Spaltabstand M können gemessen werden (bzw. wird vom Hersteller angegeben). Der Winkel M<\alpha> kann über M<\tan\alpha = \frac{d}{a}> bestimmt werden. Damit sich ein Interferenzmaximum ausbildet, muss die Phasendifferenz zwischen den beiden HUYGENSschen Elementarwellen, die man sich als in den Spalten entstehend denkt, genau Null oder ein anderes ganzzahliges Vielfaches von M<2 \pi> betragen. Umgerechnet auf den Gangunterschied (mit der Beziehung M<\frac{\Delta\varphi}{2 \pi} = \Delta s>) ergibt sich für den nötigen Gangunterschied für das Maximum 0. Ordnung M<\Delta s = 0 \,\mathrm{m}> und für das Maximum 1. Ordnung M<\Delta s = \lambda>. Eingesetzt in die oben hergeleitete Beziehung von M<\Delta s> zu M<\alpha> ergibt sich: M<\Delta s = \lambda = b \cdot \sin\alpha = b \cdot \sin \arctan \frac{d}{a};> Man erhält also eine Formel für die Wellenlänge M<\lambda>, die ausschließlich makroskopische Größen enthält! :) Diese Formel kann mit der I -- M<\sin\alpha \approx \tan\alpha \approx \alpha> für kleine M<\alpha> (kleinergleich M<5^\circ>) -- noch vereinfacht werden: M<\lambda \approx b \cdot \sin \arcsin \frac{d}{a} = b \cdot \frac{d}{a};> Umgekehrt kann man auch bei bekannter Wellenlänge die Position der Maxima berechnen: M Im Folgenden sollen nun die versteckten Tricksereien dieser Argumentation aufgedeckt werden. =head4 Numerische Trickserei: Kleinwinkelnäherung Benutzt man die Kleinwinkelnäherung, so wird das Ergebnis na­tür­lich verfälscht. Wie stark aber wird es verfälscht? Nehmen wir beispielsweise als Spaltabstand M<1 \,\mathrm{mm}> und als Abstand zum Schirm M<1 \,\mathrm{m}>, so beträgt der Fehler... =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Fri, 05 May 2006 22:39:58 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "" set xlabel "" set ylabel "" set xrange [ -10.000000 : 10.000000 ] set yrange [ -10.000000 : 10.000000 ] set grid set xtics 0.200000 set ytics 0.200000 # Function definitions f(x,c) = sqrt(1.0 - (x-c)**2.0) set xrange [ -0.9 : 0.9 ] set yrange [ -0.9 : 0.9 ] # Plotting plot x, sin(x), tan(x) =hend M<\arctan \frac{1 \,\mathrm{mm}}{1 \,\mathrm{m}} = \arctan 0{,}001 \approx 0{,}057\,295\,76; \quad {}\arcsin 0{,}001 \approx 0{,}057\,295\,789;> M<\frac{\left|\arctan 0{,}001 - \arcsin 0{,}001\right|}{\arcsin 0{,}001} \approx 0{,}5 \cdot 10^{-7} = 0{,}000\,000\,5 = 0{,}000\,05 \,\%;> Es ist wohl nicht angemessen anzunehmen, man könne den Spaltabstand und den Abstand zum Schirm so genau messen, dass man diesen Fehler berücksichtigen müsste! Außerdem handelt es sich bei dieser "Trickserei" um eine Trickserei, die man nur aus aus Bequemlichkeit macht -- es hindert einen nichts daran, beim Ausrechnen der Wellenlänge M<\sin \arctan \frac{d}{a}> statt M<\frac{d}{a}> in den Taschenrechner einzutippen. =head4 Numerische Trickserei: Perfekte Kreiswellen? In den Spaltmittelpunkten denkt man sich die Entstehung HUYGENSscher Elementarwellen -- perfekter Kreiswellen. Deren Ausbreitungsrichtung wird dann als Basis für die weiteren Berechnungen genutzt. Problematisch dabei ist nun, dass die Größe der beiden Spalten nicht wie von der Mathematik gefordert Null ist, sondern in der Größenordnung einiger hundertstel Millimeter liegt. Daher entsteht nicht nur jeweils eine Elementarwelle in den beiden Spalten, wie es bei "exakt punktförmigen" Spalten, also Spalten ohne räumliche Ausdehnung, der Fall wäre, sondern unendlich viele ("jeweils eine in jedem Punkt"), welche sich alle überlagern und zusammen nur noch annähernd eine Kreiswelle bilden. Man sich auch entschließen, diese Annäherung nicht zu akzeptieren und stattdessen die in jedem Spaltpunkt entstehenden Elementarwellen mathematisch modellieren. Mit geeigneter Integration und Aufsummierung ist dies zwar prinzipiell machbar, übersteigt aber weit die Schulmathematik und, noch wichtiger, steht in keinem Verhältnis zum Nutzen. Es wohl noch einige Zeit dauern, bis man im Femtometerbereich genau messen kann -- und erst dann wird sich das Vereinfachen der unendlich vielen Elementarwellen auf genau eine bemerkbar machen. =helper MyBook::Helper::Gnuplot # File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by # Ingo Blechschmidt , on Fri, 05 May 2006 22:39:58 CEST. # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "" set xlabel "" set ylabel "" set xrange [ -10.000000 : 10.000000 ] set yrange [ -10.000000 : 10.000000 ] set grid set xtics 0.400000 set ytics 0.400000 # Function definitions f(x,c) = sqrt(1.0 - (x-c)**2.0) set samples 100000 set xrange [ -1.1 : 1.1 ] set yrange [ -0.1 : 1.3 ] # Plotting plot \ f(x,0.0) t "Nur eine Elementarwelle", \ (f(x,-0.1)+f(x,-0.05)+f(x,0.0)+f(x,0.05)+f(x,0.1))/5 t "Mehrere Elementarwellen" =hend =head4 Experimentelle Trickserei: Räumlich ausgedehnte Interferenzmaxima! Zur Berechnung der Wellenlänge zieht man M, den Abstand vom Maximum 0. Ordnung zum Maximum 1. Ordnung, heran. Problematisch dabei ist, dass es pro sichtbarem Interferenzmaximum nur einen einzigen Punkt gibt, an dem die Gesamtamplitude wirklich maximal ist. An den anderen Punkten des "Flecks" beträgt die Amplitude beispielsweise nur ("nur") M<99 \,\%> der Maximalamplitude. Das bedeutet, dass man beim Bestimmen von M zwangsläufig einen Fehler macht. Ich rate intelligent und behaupte, dass man M -- insbesondere wenn man sich die Symmetrieeigenschaften der "Lichtflecken" zunutze macht -- auf zehntel oder sogar hundertstel Millimeter genau bestimmen kann. Diese Messgenauigkeit sollte wohl in den meisten Fällen ausreichen. =head4 Gedankliche Trickserei: Lichtstrahlen? Ironischerweise nutzt man das Konzept der Lichtstrahlen beim Doppelspaltexperiment -- einem Versuch, bei der eine einfallende Lichtwelle nur durch Beugung interferiert. Dabei gibt es Beugung in der traditionellen geometrischen Optik gar nicht! Anders als in der geometrischen Optik behaften wir die Lichtstrahlen aber mit einer zusätzlichen Eigenschaft, der Phase in einem Strahlpunkt; damit ist diese Trickserei gerechtfertig und stellt lediglich eine Vereinfachung dar. Alternativ kann man auch die zwei Elementarwellen der beiden Spalte mathematisch überlagern. Ohne die Vereinfachung ist die Berechnung der Interferenzmaxima- und -minima allerdings sehr viel komplizierter. Primär wollen wir die physikalischen Phänomene hinter dem Doppelspalt verstehen, nicht das Mathematik-Studium vorgreifen. =helper MyBook::Helper::Gnuplot r(x,y, s) = sqrt(x**2 + (y-s)**2) f(x,y,t, s) = t < 0 || x < 0 || r(x,y, s)/1 > t ? 0 : 1.0/r(x,y, s) * sin(2.*pi*(1*t + 1./1.*r(x,y, s))) ff(x,y,t) = f(x,y,t, -5) + f(x,y,t, 5) set isosamples 30 set view 36,77 set hidden3d set xrange [ 0 : ] set yrange [ -10 : 10 ] set zrange [ -1.3 : 1.3 ] unset xtics unset ytics unset ztics splot ff(x,y, 2.850) t '' =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot r(x,y, s) = sqrt(x**2 + (y-s)**2) f(x,y,t, s) = t < 0 || x < 0 || r(x,y, s)/1 > t ? 0 : 1.0/r(x,y, s) * sin(2.*pi*(1*t + 1./1.*r(x,y, s))) ff(x,y,t) = f(x,y,t, -5) + f(x,y,t, 5) set isosamples 30 set view 36,77 set hidden3d set xrange [ 0 : ] set yrange [ -10 : 10 ] set zrange [ -1.3 : 1.3 ] unset xtics unset ytics unset ztics splot ff(x,y, 5.0) t '' =hend =helper MyBook::Helper::Gnuplot r(x,y, s) = sqrt(x**2 + (y-s)**2) f(x,y,t, s) = t < 0 || x < 0 || r(x,y, s)/1 > t ? 0 : 1.0/r(x,y, s) * sin(2.*pi*(1*t + 1./1.*r(x,y, s))) ff(x,y,t) = f(x,y,t, -5) + f(x,y,t, 5) set isosamples 30 set view 36,77 set hidden3d set xrange [ 0 : ] set yrange [ -10 : 10 ] set zrange [ -1.3 : 1.3 ] unset xtics unset ytics unset ztics splot ff(x,y, 9.0) t '' =hend =head4 Gedankliche Trickserei: Parallelität der Lichtstrahlen der beiden Spalten? Unsere Berechnung wurde durch die Annahme, dass die Lichtstrahlen, die beide zum gleichen Punkt führen, parallel sind, sehr vereinfacht. Wie groß ist der Fehler unter typischen Versuchsbedingungen? =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 1387.500 2362.500 1500 2085 1665 2250 1665 2475 5 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 0 0 1960.000 1492.500 2085 1305 2175 1425 2175 1560 6 -270 1605 90 2430 4 0 0 50 -1 4 12 1.5708 0 180 495 -135 2430 Spalt-\001 4 0 0 50 -1 4 12 1.5708 0 135 825 90 2430 abstand b\001 -6 6 6165 930 6795 2010 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 1080 6660 930 Abstand zum\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 990 6435 930 Maximum 1.\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 180 900 6210 930 Ordnung d\001 -6 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 450 1575 23 23 450 1575 473 1575 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 450 2475 23 23 450 2475 473 2475 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 4500 2025 67 67 4500 2025 4567 2025 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 4500 900 45 45 4500 900 4545 900 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 4500 3150 45 45 4500 3150 4545 3150 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 450 450 450 1350 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 450 1800 450 2250 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 450 2700 450 3600 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 4500 450 4500 3600 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 450 2025 4500 2025 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 450 1575 4500 900 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 450 2475 4500 900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 450 2475 4500 2475 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 450 1575 4500 1575 2 1 0 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 225 1575 225 2475 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 4500 2475 5400 2475 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 4500 1575 5400 1575 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 4500 900 6075 900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 450 3825 4500 3825 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 6075 2025 6075 900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 4725 1575 4725 900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 7 1 1 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 0 1.00 105.00 150.00 5400 2475 5400 900 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 0 0 2 4500 2025 6075 2025 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 135 1875 1710 4080 Abstand zum Schirm a\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 570 4830 960 d - b/2\001 4 0 0 50 -1 4 12 4.7124 0 135 600 5475 1320 d + b/2\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 465 1635 1530 alpha\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 180 510 1095 2385 alpha'\001 =hend M<\tan\alpha = \dfrac{d - \frac{b}{2}}{a}; \quad {}\tan\alpha' = \dfrac{d + \frac{b}{2}}{a};> Mit einem Spaltabstand von M, dem Abstand zum Schirm M und der Entfernung des Maximums 0. Ordnung zum Maximum 1. Ordnung M ergeben sich M<\alpha> und M<\alpha'> zu: M<\alpha = \arctan \dfrac{d - \frac{b}{2}}{a} \approx 0{,}029^\circ; \quad {}\alpha' = \arctan \dfrac{d + \frac{b}{2}}{a} \approx 0{,}086^\circ;> Unsere Vereinfachung besteht darin, für M<\alpha'> auch M<\alpha> zu nehmen. Der absolute Fehler beträgt dabei M<\left|\alpha - \alpha'\right| \approx 0{,}057^\circ>, also weniger als ein zehntel Grad -- diese Trickserei ist damit ziemlich klar zulässig. =head4 Gedankliche Trickserei: Konzept des Punkts? Eine Vereinfachung, die sich auch in vielen anderen Bereichen der Physik findet, ist das Konzept des mathematisch idealisierten Punkts. Im Gegensatz zur Mathematik, wo man bei allen differenzierbaren Kurven von infinitesimalen Punkten sprechen kann, kann man das in der Physik nur begrenzt -- streng genommen müsste man immer von Intervallen sprechen. Allerdings ist das Rechnen mit Intervallen um einiges komplizierter als das mit einfachen skalaren Zahlenwerten und ist wohl den Aufwand nicht wert. Sind Missverständnisse ausgeschlossen, ist es daher durchaus zu­läs­sig diese theoretische Vereinfachung vorzunehmen. Wie bei allen anderen sprachlichen Vereinfachungen muss man nur darauf achten, dass alle Beteiligten wissen, was wirklich gemeint ist! =head4 Frage: Trotz genauer Funktionsterme keine perfekten Interferenzminima im Graphenplotter Eine Elementarwelle, die im Punkt M<(0,c)> zur Zeit M entsteht, modellieren wir mathematisch als dreistellige Funktion. M sei der Abstand eines bestimmten Wellenpunkts zum Wellenursprung. M Die Überlagerung der Elementarwellen der beiden Spalte ist dann: M =helper MyBook::Helper::XFig #FIG 3.2 Landscape Center Metric A4 100.00 Single -2 1200 2 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 450 1575 23 23 450 1575 473 1575 1 3 0 1 0 0 50 -1 20 0.000 1 0.0000 450 2475 23 23 450 2475 473 2475 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 450 450 450 1350 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 450 1800 450 2250 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 450 2700 450 3600 2 1 0 3 0 7 50 -1 -1 0.000 0 0 -1 0 0 2 4500 450 4500 3600 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 0 2025 4950 2025 2 1 2 1 0 7 50 -1 -1 3.000 0 0 -1 1 0 2 0 0 1.00 105.00 150.00 450 4050 450 0 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 105 90 4995 2100 x\001 4 0 0 50 -1 4 12 0.0000 0 150 105 405 -75 y\001 =hend Damit ergibt sich der folgende Graph, der die Ausschläge in einem festen M zu drei verschiedenen Zeitpunkten in Abhängigkeit von M zeigt. =helper MyBook::Helper::Gnuplot # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "" set xlabel "y" set ylabel "Ausschlag" set xrange [ -10.000000 : 10.000000 ] set grid set xtics 0.500000 unset ytics # Function definitions r(x,y, s) = sqrt(x**2 + (y-s)**2) f(x,y,t, s) = t < 0 || x < 0 || r(x,y, s)/1 > t ? 0 : 1.0/r(x,y, s) * sin(2.*pi*(1*t + 1./1.*r(x,y, s))) ff(x,y,t) = f(x,y,t, -5) + f(x,y,t, 5) set xrange [ -2.1 : 2.1 ] # Plotting plot ff(10,x,150) t '', ff(10,x,150.5) t '', ff(10,x,150.29) t '' =hend Unter einem Interferenzminimum versteht man einen Punkt, in dem der Gesamtausschlag zu jeder Zeit Null ist -- ein Punkt, den man im Kontext stehender Wellen als Knoten bezeichnen würde. Bei vielen Zeitpunkten stimmt unsere Erwartung auch mit dem Graph überein, zu einigen anderen Zeitpunkten aber "verfehlt" die Kurve den Nullpunkt knapp. Nur ein numerisches Artifakt oder habe ich eine Vereinfachung übersehen, welche das Ergebnis ver­fälscht? =helper MyBook::Helper::Gnuplot # Global settings set samples 10000 unset border set xtics axis set ytics axis set xzeroaxis lt -1 set yzeroaxis lt -1 # Coordinate system settings set title "Vergrößerung" set xlabel "y" set ylabel "Ausschlag" set xrange [ -10.000000 : 10.000000 ] set grid set xtics 0.500000 unset ytics # Function definitions r(x,y, s) = sqrt(x**2 + (y-s)**2) f(x,y,t, s) = t < 0 || x < 0 || r(x,y, s)/1 > t ? 0 : 1.0/r(x,y, s) * sin(2.*pi*(1*t + 1./1.*r(x,y, s))) ff(x,y,t) = f(x,y,t, -5) + f(x,y,t, 5) set xrange [ -2.1 : 2.1 ] set yrange [ -0.05 : 0.05 ] # Plotting plot ff(10,x,150) t '', ff(10,x,150.5) t '', ff(10,x,150.29) t '' =hend