=for timestamp
Sa Jan 28 16:36:57 CET 2006

=head2 Differentialgleichungen

=for comment
Schon am Do, den 26.1.2006.

Gleichung, deren Lösungsmenge aus Zahlen besteht ≠ Gleichung, deren
Lösungsmenge aus Funktionen besteht

=over

=item 1.

Bekannt:

M<7x^3 - 15x^2 + 2x - 9 = 0;>

M<D = \mathds{R}; \quad L = \text{irgendeine Teilmenge aus }\mathds{R};>

=item 2.

Neu:

M<5 \mathrm{f}'''(x) - \frac{1}{\left(\mathrm{f}'(x)\right)^2} +
\sqrt{\mathrm{f}(x)} + \frac{1}{\lg \mathrm{f}'(x)} = 0;>

M<\begin{array}{@{}rcl}
{} D &=& \text{Menge von Funktionen, die} \\
{}   & & \text{mindestens dreimal ableitbar sind und} \\
{}   & & \text{deren Funktionswerte größer als }0\text{ sind};
\end{array}>

=back


=for timestamp
Mo Feb  6 16:46:25 CET 2006

=head3 Aufstellen und Auswerten von Differentialgleichungen in der Physik

=over

=item Relaxationssystem

=over

=item Kondensator

[Stromkreis: Kondensator M<C> (M<Q = C U>), verbunden mit Widerstand M<R> (M<U
= R \dot Q>)]

Uns interessiert M<U(t)> bzw. M<I(t)>.

Maschenregel: M<U_1(t) + U_2(t) = 0;>

M<\frac{Q(t)}{C} + R \dot Q(t) = 0;>

M<Q(t) = Q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}};> ("intelligent geraten")

M<\dot Q(t) = Q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}} \cdot \left(-\frac{1}{\tau}\right);>

M<\frac{1}{C} Q_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}} - \frac{R}{\tau} Q_0 \,
e^{-\frac{t}{\tau}} = 0;>

M<\tau = RC;> M<\left[1 \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}
\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{V}} = 1 \,\mathrm{s}\right]>

M<Q(t) = Q_0 \, e^{-\frac{t}{RC}};>

M<I(t) = -\underbrace{\frac{Q_0}{RC}}_{I_0} \, e^{-\frac{t}{RC}};>

=item Spule

[Stromkreis: Spule M<L> (M<U = L \dot I>), verbunden mit Widerstand M<R> (M<U =
R I>)]

Uns interessiert M<U(t)> bzw. M<I(t)>.

Maschenregel: M<U_1(t) + U_2(t) = 0;>

M<L \dot I(t) + R I(t) = 0;>

M<I(t) = I_0 \, e^{-\frac{t}{\tau}};>

M<\dot I(t) = -\frac{I_0}{\tau} \, e^{-\frac{t}{\tau}};>

M<-\frac{I_0}{\tau} L + R I_0 = 0;>

M<\tau = \frac{L}{R};>

M<I(t) = I_0 \, e^{-\frac{R}{L} t};>

=back

=item Der ungedämpfte Schwingkreis

[Stromkreis: Kondensator M<C> (M<Q = C U>), verbunden mit Spule M<L> (M<U = L
\dot I = L \ddot Q>; [Ersetzung von M<\dot I> mit M<\ddot Q>] damit nur eine
Funktion gesucht ist)]

M<U_C(t) + U_L(t) = 0;>

M<\frac{Q(t)}{C} + L \ddot Q(t) = 0;>

M<Q(t) = Q_0 \sin \omega t;>

M<\ddot Q(t) = -\omega^2 Q_0 \sin \omega t;>

M<\frac{Q_0}{C} - L \omega^2 Q_0 = 0;>

M<\omega^2 = \frac{1}{LC};> M<\left[1 \frac{1}{\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{A}}
\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{V}}} = 1 \frac{1}{\mathrm{s}}\right]>

M<\omega = \frac{2 \pi}{T};> ⇒ M<T = 2\pi \sqrt{LC};>

=back


=for timestamp
Mo Feb 13 18:05:40 CET 2006

=head3 Differentialgleichung für gedämpfte Schwingungen

M<\ddot x(t) + 2 \gamma \dot x(t) + \omega_0^2 x(t) = f_0 \cos \omega t;>

Die allgemeine Lösung ist:

M<x(t) = A_1 \sin(\omega_1 t + \varphi_1) \cdot e^{-\gamma t} + A_2 \cos(\omega
t + \varphi);>

Nach dem Einschwingvorgang bleibt nur der zweite Term:

M<x(t) = A_2 \cos(\omega_t + \varphi);>

In die Differentialgleichung eingesetzt ergibt sich für die Phase zwischen
Anregungssignal und Antwort des Oszillators:

M<\varphi = \arctan -\dfrac{2 \gamma \omega}{\omega_0^2 - \omega^2};>

Und für die Amplitude:

M<A_2 = \dfrac{f_0}{\sqrt{\left(\omega_0^2 - \omega^2\right)^2 + \left(2 \gamma
\omega\right)^2}};>

Die Breite der Resonanz ist:

M<\Delta w = 2 \sqrt{3} \cdot \gamma;>