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Gretchenfrage bei Transformationsmatrizen

$B = \{a_{1}, \dots, a_{n}\}$ Basis in $V$

Definiere geschlängelte Basis über Gretchenfrage:

$ã_{k} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i k} a_{i}$ , $k = 1, \dots, n$

Das definiert die Transformationsmatrix $S : = (α_{i k})$ .

Behauptung: $S = M (id; \tilde{B}, B)$

Bew. (formal): Sei $M (id; \tilde{B}, B) = (β_{i k})$ . Nach Definition des $M$ -Operators, also nach der Gretchenfrage, gilt:

$id ã_{k} = \sum_{i = 1}^{n} β_{i k} a_{i}$ , $k = 1, \dots, n$

Andererseits gilt aber:

$id ã_{k} = ã_{k} = \sum_{i = 1}^{n} α_{i k} a_{i}$ , $k = 1, \dots, n$

Also müssen die $β_{i k}$ und die $α_{i k}$ gleich sein; also ist $M (id; \tilde{B}, B) = (β_{i k}) = (α_{i k}) = S$ . $□$

Bew. (anschaulich): Bei der Definition der geschlängelten Basis geben wir an, wie man einen neuen Basisvektor $ã_{k}$ durch alte Basisvektoren $a_{i}$ ausdrücken kann. Wir definieren also eine Zuordnung der neuen Basisvektoren zu (Linearkombinationen der) alten Basisvektoren, kurz eine Matrix der neuen zur alten Basis.