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Der Bundes-Mathematik-Test 2002

1. Das Diagramm zeigt, wie viele Millionen Tonnen Güter 1998 über die wichtigsten Alpenpässe transportiert wurden. Es ist aufgegliedert nach Verkehrsmittel und durchquertem Alpenland.
   1. Wie viel Prozent der gesamten Gütermenge wurden mit LKW (Gruppe B) bzw. der Bahn (Gruppe A) transportiert?
      GRUPPE B: $60\%$
      GRUPPE A: $40\%$
   2. Stelle dir vor, die gesamten 100 Millionen Tonnen Güter werden auf LKW mit jeweils $25t$ Nutzlast und $15m$ Länge verteilt. Wie viele Kilometer wäre diese LKW-Schlange lang, wenn die Fahrzeuge lückenlos aneinandergereiht werden?
      GRUPPE B: $100t\cdot{}10^6:20t\cdot{}12m=5\cdot{}10^6\cdot{}12m=60.000.000m$
      GRUPPE A: $100t\cdot{}10^6:25t\cdot{}15m=4\cdot{}10^6\cdot{}15m=60.000.000m$
   3. Bei den Zahlenangaben handelt es sich um Werte, die auf ganze Millionen gerundet sind. Um wie viel Prozent kann die Gütermenge, die 1998 mit der Bahn über die wichtigsten Alpenpässe in Österreich tatsächlich transportiert wurde, vom Wert im Diagramm maximal abweichen?
      $\frac{0,5t\cdot{}10^6}{10t\cdot{}10^6}=5\%$
2. In der Zeitung steht: "`Mehrere große Brände haben am Wochenende in Sibirien $9000ha$ (GRUPPE A: $4000ha$) Wald vernichtet.
   
   GRUPPE A: $b=1km$, $l=40km$ GRUPPE B: $b=3.000.000m$, $l=30m$
3. Berechne und gib das Ergebnis wieder in Stunden, Minuten und Sekunden an:
   GRUPPE B: $5h 10min - 2h 25min 25s = 2h 44min 35s$
   GRUPPE A: $6h 10min - 2h 25min 25s = 3h 44min 35s$
4. Das abgebildete Blech wird entlang der gepunkteten Linien zu einer oben offenen Schachtel gebogen. Welches Volumen hat die Schachtel?
   GRUPPE B: $\Box$ $250cm^3$ $\Box\!\!\!\!\times$ $300cm^3$ $\Box$ $500cm^3$ $\Box$ $600cm^3$ $\Box$ $1500cm^3$
   GRUPPE A: $320cm^3$
5. 1. Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems ( $x\in\mathds{Q}$, $y\in\mathds{Q}$):

      I.

      $14x+4y=2$

      II.

      $21x+6y=6$

      $\mathds{L}=\left\{\right\}$
   2. Obiges Gleichungssystem lässt sich auch graphisch mit Hilfe zweier Geraden lösen. Welche Lösung hat die zu Gerade I gehörige Gerade?
      GRUPPE B: $\Box$ $14$ $\Box$ $4$ $\Box$ $\frac{4}{14}$ $\Box\!\!\!\!\times$ $-3,5$ $\Box$ $-14$
      GRUPPE A: $-4,5$
6. Ein Punkt $P$ soll an einem Punkt $Z$ ($Z \nec P$) gespiegelt werden. Beschreibe mit Worten, wie man den Bildpunkt $P'$ konstruiert.
   Man zieht einen Kreis mit Mittelpunkt $Z$, der durch $P$ verläuft. Anschließend zieht man eine Halbgerade $\left[PZ$. $P'$ ist dann der Schnittpunkt von Kreis und Halbgerade.
7. Wir betrachten die Formel $c=\frac{a}{b}$ mit positiven Größen $a$, $b$, $c$. Bei GRUPPE A lautet die Gleichung $a=\frac{b}{c}$.
   1. Wie verändert sich $c$, wenn (bei unverändertem $a$) $b$ halbiert (GRUPPE A: gedrittelt) wird?
      $c$ verdoppelt (GRUPPE A: verdreifacht) sich.
   2. Löse die Formel nach $b$ auf:
      $b=\frac{a}{c}$
   3. Begründe, dass folgender Satzzusammenhang nicht durch die Formel $c=\frac{a}{b}$ beschrieben wird:
      Der Benzinverbrauch $c$ für eine Autofahrt errechnet sich aus dem mit $a$ bezeichneten Benzinverbrauch pro $100km$ und der gefahrenen Strecke $b$.
      Die Gleichung würde besagen, dass der Benzinverbrauch kleiner wird, wenn ich mehr fahre.
   4. Gib einen Sachzusammenhang an, der durch die Formel $c=\frac{a}{b}$ beschrieben werden kann.
      $v=\frac{s}{t}$
   5. Welcher der nachstehenden Graphen kann zur Funktionsgleichung $y=\frac{0,5}{x}$ gehören?
      GRUPPE B: $\Box$ $\Box\!\!\!\!\times$ $\Box$ $\Box$
      GRUPPE A: $\Box\!\!\!\!\times$ $\Box$ $\Box$ $\Box$
8. Kürze so weit wie möglich (es wird die maximal mögliche Definitionsmenge vorrausgesetzt):
   $\frac{x-x^2}{x-x^3}=\frac{x\cdot{}(1-x)}{x\cdot{}(1-x^2)}=\frac{1-x}{1-x^2}=\frac{1-x}{(1-x)\cdot{}(1+x)}=\frac{1}{1+x}$
9. In einen Dreieck $\triangle ABC$ mit $\overline{AB}=72cm$ (GRUPPE A: $\overline{AB}=90cm$) und $\overline{BC}=48cm$ (GRUPPE A: $\overline{BC}=72cm$) sollen der Punkt $E$ auf der Seite $\left[AB\right]$ und der Punkt $D$ auf der Seite $\left[BC\right]$ so bestimmt werden, dass das Dreieck durch die Strecken $\left[AD\right]$ und $\left[Deutschland\right]$ in drei Teile mit gleichem Flächeninhalt zerlegt wird.
   Gib die Streckenlängen $\overline{AE}$ und $\overline{CD}$ an und begründe dein Ergebnis kurz.
   GRUPPE B: $\overline{AE}=36cm$, $\overline{CE}=16cm$
   GRUPPE A: $\overline{AE}=45cm$, $\overline{CE}=24cm$

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