«11C» 9. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 9. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 37, Aufgabe 9

Zeige: Für alle \varphi$\varphi$ gilt:

a)

\left[ E(\varphi) \right]^* = \cos\varphi - \mathrm{i}\sin\varphi = \cos\varphi + \mathrm{i}\sin\left(-\varphi\right) = E(-\varphi);${\left[E\left(\varphi \right)\right]}^{\ast }=cos\varphi -\text{i}sin\varphi =cos\varphi +\text{i}sin\left(-\varphi \right)=E\left(-\varphi \right);$

b)

\frac{1}{2}\left[ E(\varphi) + E(-\varphi) \right] = \frac{1}{2}\left[ \cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi + \cos\varphi - \mathrm{i}\sin\varphi \right] = \cos\varphi;$\frac{1}{2}\left[E\left(\varphi \right)+E\left(-\varphi \right)\right]=\frac{1}{2}\left[cos\varphi +\text{i}sin\varphi +cos\varphi -\text{i}sin\varphi \right]=cos\varphi ;$

c)

\frac{1}{2\mathrm{i}} \left[ E(\varphi) - E(-\varphi) \right] = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left[ \cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi - \cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi \right] = \sin\varphi;$\frac{1}{2\text{i}}\left[E\left(\varphi \right)-E\left(-\varphi \right)\right]=\frac{1}{2\text{i}}\left[cos\varphi +\text{i}sin\varphi -cos\varphi +\text{i}sin\varphi \right]=sin\varphi ;$