«K12/K13» Formel für die totale Wahrscheinlichkeit «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Formel für die totale Wahrscheinlichkeit

\displaystyle \Omega = \bigcup\limits_{i = 1}^n E_i$\Omega =\bigcup _{i=1}^n{E}_i$ mit paarweise disjunkten E_i$E_i$;

\displaystyle A = \bigcup\limits_{i = 1}^n \underbrace{\left(A \cap E_i\right)}_{\scriptsize\begin{array}{@{}c}\text{paarweise}\\\text{disjunkt}\end{array}};$A=\bigcup _{i=1}^n\underset{\begin{array}{c}\hfill \text{paarweise}\hfill \\ \hfill \text{disjunkt}\hfill \end{array}}{\underbrace{\left(A\cap E_i\right)}};$

P(A) = \sum\limits_{i = 1}^n P(A \cap E_i) = \sum\limits_{i = 1}^n P(E_i) P_{E_i}(A);$P\left(A\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A\cap E_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(E_i\right)P_{E_i}\left(A\right);$

Speziell: \Omega = A \cup \overline{A};$\Omega =A\cup \overline{A};$

P(B) = P(A) P_A(B) + P(\overline{A}) P_{\overline{A}}(B);$P\left(B\right)=P\left(A\right)P_A\left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)P_{\overline{A}}\left(B\right);$

Formel von Bayes:

Brücke: P(A \cap B) = P(A) P_A(B) = P(B) P_B(A);$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P_A\left(B\right)=P\left(B\right)P_B\left(A\right);$

\displaystyle P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) P_A(B)}{P(A) P_A(B) + P(\overline{A}) P_{\overline{A}}(B)};$P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\right)P_A\left(B\right)}{P\left(A\right)P_A\left(B\right)+P\left(\overline{A}\right)P_{\overline{A}}\left(B\right)};$