Zuletzt geändert: Fr, 14.10.2005

«K12/K13» 13. Hausaufgabe «PDF», «POD»




0.0.1 13. Hausaufgabe

0.0.1.1 Zusammenfassung der Seiten 194–197
Flächenladungsdichte

Versuche legen die Vermutung nahe, dass der Quotient aus felderzeugender Ladung QQ und der Fläche der Kondensatorplatten AA proportional zur elektrischen Feldstärke \mathcal{E} ist. Die Proportionalitätskonstante \varepsilon_0ɛ0 heißt elektrische Feldkonstante und beträgt 8{,}8542 \cdot 10^{-12} \,\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}\mathrm{m}}8,8542 1012 C Vm.

\frac{Q}{A} = \varepsilon_0 \mathcal{E};Q A = ɛ0;

Möglichkeit zur Bestimmung der Feldstärke eines Feldes

Bringt man zwei sich berührende, gleich große, kleine Metallplatten an Isoliergriffen in ein elektrisches Feld, so stellt sich wegen elektrischer Influenz ein Ladungsungleichgewicht ein: positive und negative Ladungen trennen sich und befinden sich dann auf jeweils einer Platte.

Insgesamt betrachtet sind die zwei Platten natürlich noch neutral, da sich die Ladung QQ der einen Platte mit der Ladung -Q Q der anderen Platten ausgleicht. Wenn man nun aber die beiden Platten – noch innerhalb des Feldes – trennt und dann – auch außerhalb des Feldes – die auf einer Platte befindliche Ladung QQ misst, kann man auch die elektrische Feldstärke \mathcal{E} bestimmen:

\frac{Q}{A} = \varepsilon_0 \mathcal{E}; \Rightarrow \mathcal{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{Q}{A};Q A = ɛ0; = 1 ɛ0 Q A;

Dabei bezeichnet AA die Größe der Metallplatten.

Obwohl man diese Möglichkeit der Feldstärkenbestimmung streng genommen nur in homogenen Feldern anwenden darf, kann man sie, wenn man sehr kleine Metallplatten nimmt, auch auf inhomogene Felder übertragen, mit der Begründung, dass inhomogene Felder in einem genügend kleinen Raum annähernd homogen sind. Auf diese Weise arbeiten auch Elektrofeldmeter.

Das COULOMBsche Gesetz

Durch verschiedene Versuche ergibt sich ein Gesetz, welches die elektrische Kraft F_{\text{el}}Fel beschreibt, mit der sich zwei geladene Körper mit den Ladungen Q_1Q1 und Q_2Q2, die sich im Abstand rr zueinander befinden, anziehen:

F_{\text{el}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2};Fel = 1 4πɛ0 Q1Q2 r2 ;

Bemerkenswerterweise fällt eine deutliche Ähnlichkeit mit dem NEWTONschen Gravitationsgesetz auf:

F_{\text{grav}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2};Fgrav = Gm1m2 r2 ;

Die beiden Gesetze unterscheiden sich also nur in ihren Konstanten und darin, ob Massen oder Ladungen in die Rechnung mit eingehen.

Potenzial im Radialfeld einer Ladung

Das Potenzial \varphi(r)ϕ(r) im Radialfeld einer Ladung QQ, wobei als Bezugspunkt "das Unendliche" genommen wird, berechnet sich durch

\varphi(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r};ϕ(r) = 1 4πɛ0 Q r ;

0.0.1.2 Buch Seite 197, Aufgabe 1

Berechnen Sie die Kraft, mit der sich zwei gleich geladene Körper mit der Ladung a) Q = 35 \,\mu\mathrm{C}Q = 35μC im Abstand r = 12 \,\mathrm{cm}r = 12cm und b) Q = 1 \,\mathrm{C}Q = 1C im Abstand r = 1 \,\mathrm{m}r = 1m abstoßen.

a)

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2} = 0{,}76 \,\mathrm{kN};F = 1 4πɛ0 Q2 r2 = 0,76kN;

b)

F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2} = 9{,}0 \cdot 10^9 \,\mathrm{N};F = 1 4πɛ0 Q2 r2 = 9,0 109N;

0.0.1.3 Buch Seite 197, Aufgabe 2

Der Abstand zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom sei d = 10^{-10} \,\mathrm{m}d = 1010m. Das Proton trägt die Ladung Q = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \,\mathrm{C}Q = 1,6 1019C, das Elektron eine gleich große negative.

a)

Wie groß ist die COULOMBkraft, mit der sich die beiden Teilchen anziehen?

F_{\text{el}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{d^2} = 2{,}3 \cdot 10^{-8} \,\mathrm{N};Fel = 1 4πɛ0 Q2 d2 = 2,3 108N;

(Zentripetalbeschleunigung a = \frac{F}{m} \gg ga = F m g)

b)

Wie groß ist die Gravitationskraft zwischen den beiden Teilchen? (m_{\mathrm{p}} = 1{,}7 \cdot 10^{-27} \,\mathrm{kg}mp = 1,7 1027kg, m_{\mathrm{e}} = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\mathrm{kg}me = 9,1 1031kg)

F_{\text{G}} = G \frac{m_{\mathrm{p}} m_{\mathrm{e}}}{d^2} = 1{,}0 \cdot 10^{-47} \,\mathrm{N};FG = Gmpme d2 = 1,0 1047N;

c)

In welchem Verhältnis stehen elektrostatische Anziehungskraft und Gravitationskraft? Hängt das Verhältnis vom Abstand der Teilchen ab?

\frac{F_{\text{el}}}{F_{\text{G}}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 G} \frac{Q^2}{m_{\mathrm{p}} m_{\mathrm{e}}} = 10^{39};Fel FG = 1 4πɛ0G Q2 mpme = 1039;

Das Verhältnis hängt nicht vom Abstand der Teilchen ab.

0.0.1.4 Buch Seite 197, Aufgabe 3

Zwei Punktladungen Q_1 = 2 \,\mathrm{C}Q1 = 2C und Q_2 = 8 \,\mathrm{C}Q2 = 8C haben den Abstand d = 1 \,\mathrm{m}d = 1m. In welchem Punkt ist die Feldstärke Null?

\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 q}{r_1^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_2 q}{\left(d - r_1\right)^2}; \Rightarrow r_{a,b} = \ldots; 1 4πɛ0Q1q r12 = 1 4πɛ0 Q2q dr1 2 ; ra,b = ;

\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{Q_1}{Q_2};r12 r22 = Q1 Q2 ; (folgt aus F(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2} = \mathcal{E} q;F(r) = 1 4πɛ0 Qq r2 = q;)

(Benötigte Zeit: 63 min)