Zuletzt geändert: So, 04.02.2007

«K12/K13» 143. Hausaufgabe «PDF», «POD»




0.0.1 143. Hausaufgabe

0.0.1.1 Exzerpt von B. S. 503f.: Motivation des Tröpf­chen­mo­dells

Die experimentellen Befunde, wie beispielsweise die Abhängigkeit der Bindungsenergie von der Massenzahl (Abb. 503.1), möchte man quantitativ beschreiben können.

Wie auch bei Flüssigkeitströpfchen wirken bei Kernen Kernkräfte unter Nukleonen, und zwar messbar nur unter "benachbarten" Nukleonen. Diese Erkentnisse motivieren dazu, Atomkerne als Flüs­sig­keits­tröpf­chen zu modellieren – die Kräfteverhältnisse bei Atomkernen und Flüs­sig­keits­tröpf­chen ähneln sich sehr.

0.0.1.2 Exzerpt von B. S. 504: Annäherung durch drei Energieterme

Drei Energieterme genügen, um die E/AEAAA-Kurve akkurat wiedergeben zu können.

0.0.1.2.1 Volumenenergie

Man modelliert Kerne als inkompressibel; alle Kerne haben dieselbe Dichte. Daraus folgt, dass die Volumenenergie E_{\text{V}}EV zur Massenzahl AA (nicht zu verwechseln mit der Oberfläche!) proportional ist.

E_{\text{V}} \sim \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(r_0 A^{1/3}\right)^3;EV 4 3πr3 = 4 3π r0A13 3; (r_0r0 ist der Radius eines Nukleons)

E_{\text{V}} = a A;EV = aA;

0.0.1.2.2 Oberflächenenergie

Es würde Energie kosten, die Grenzfläche zwischen Nukleonen zu überwinden. Diese Oberflächenenergie ist zur Kernoberfläche proportional.

E_{\text{O}} \sim 4 \pi r^2 = 4 \pi \left(r_0 A^{1/3}\right)^2;EO 4πr2 = 4π r0A13 2;

E_{\text{O}} = b A^{2/3};EO = bA23;

0.0.1.2.3 COULOMBenergie

In Atomkernen steckt auch Energie in der "elektrostatischen Anziehung", genauer im \mathcal{E}-Feld. Die COLUMNBenergie ist indirekt proportional zum Radius.

E_{\text{C}} \sim \frac{Ze \cdot Ze}{r} = \frac{Z^2 e^2}{r_0 A^{1/3}};EC ZeZe r = Z2e2 r0A13 ;

E_{\text{C}} = c Z^2 / A^{1/3};EC = cZ2A13;

0.0.1.3 Exzerpt von B. S. 504: Ausdruck der Bindungsenergie durch die drei Energieterme

E_{\text{B}} = E_{\text{V}} - \left(E_{\text{O}} + E_{\text{C}}\right) = a A - b A^{2/3} - c Z^2 A^{-1/3};EB = EV EO + EC = aA bA23 cZ2A13;

Oberflächenenergie und COULOMBenergie sind Energien, die sich aus (dem Integral über) abstoßende Kräfte ergeben; dementsprechend ordnet man ihnen ein negatives Vorzeichen zu. Die Volumenenergie geht positiv in die Bilanz ein.

Man kann über die Näherung Z \approx 0{,}45 \, AZ 0,45A die Abhängigkeit von E_{\text{B}}EB von ZZ entfernen:

E_{\text{B}} \approx a A - b A^{2/3} - c' A^{4/3};EB aA bA23 cA43;

Die Bindungsenergie pro Nukleon ergibt sich damit zu:

E_{\text{B}}/A \approx a - b A^{-1/3} - c' A^{1/3};EBA a bA13 cA13;

0.0.1.4 Exzerpt von B. S. 504: Die Konstanten aa, bb und cc (bzw. c'c)

Die Proportionalitätskonstanten aa, bb und cc (bzw. c'c) wurden empirisch auf a = 14 \,\mathrm{MeV}a = 14MeV, b = 13 \,\mathrm{MeV}b = 13MeV und c' = 0{,}12 \,\mathrm{MeV}c = 0,12MeV bestimmt. Mit c' = \left(0{,}45\right)^2 cc = 0,452c ergibt sich cc zu c = 0{,}59 \,\mathrm{MeV}c = 0,59MeV.

0.0.1.5 Exzerpt von B. S. 504f.: Erweiterung des Tröpf­chen­mo­dells

Man kann das Tröpfchenmodell noch erweitern, indem man Terme für die Berücksichtigung des Neutronenüberschusses und der Paarbildung von Protonen und Neutronen hinzufügt.

Die Motivation hinter dieser Erweiterung liegt in dem Problem, dass ohne die Erweiterung der Stabilitätsunterschied zwischen gg- und uu-Kernen nicht wiedergespiegelt wird.

0.0.1.6 Fragen
  • Kann man die empirisch ermittelten Konstanten aa, bb und cc (bzw. c'c) auf "fundamentalere" Naturkonstanten zu­rück­füh­ren?

  • Wie kann man sich die Volumenenergie vorstellen? Die COULOMBenergie ist an die COULOMBkraft bzw. an das COULOMBpotenzial gebunden, und die Oberflächenenergie ergibt sich daraus, dass die Überwindung der Grenzflächen Energie kosten würde. Aber mir ist nicht klar, an was die Volumenenergie gebunden ist.

  • Was ist die zur Oberflächenenergie gehörende Kraft? Also über welches FF integriert man beim Ausdruck \int F \,\mathrm{d}r = E_{\text{O}}Fdr = EO?

(Benötigte Zeit: 72 min)