0.0.1 ↑ 40. Hausaufgabe
0.0.1.1 ↑ Zusammenfassung des Hall-Effekts unter den Gesichtspunkten der Stunde
Die Herleitung für die Formel für die Hallspannung U_{\text{H}} ist sehr einfach.
Zum Einen wissen wir, dass die Lorentzkraft F_{\text{L}} wegen des Magnetfelds wirkt:
F_{\text{L}} = \mathcal{B} e v;
Dadurch werden die Ladungsträger in eine bestimmte Richtung abgelenkt. Die Konzentration der vielen Elektronen erzeugt nun ein elektrisches Feld:
\mathcal{E} = \frac{F_{\text{el}}}{e} = \frac{U}{d}; \Rightarrow F_{\text{el}} = \frac{U}{d} e;
Im Gleichgewichtszustand sind die Lorentzkraft F_{\text{L}} und die elektrische Kraft F_{\text{el}} gleich groß, also können wir F_{\text{L}} mit F_{\text{el}} gleich setzen:
F_{\text{L}} = F_{\text{el}}; \Rightarrow \mathcal{B} e v = \frac{U}{d} e;
Durch Auflösen erhalten wir für die Hallspannung U_{\text{H}} = U
U_{\text{H}} = \mathcal{B} v d;
Die Geschwindigkeit der Elektronen errechnet sich durch
v = \frac{I}{d^2 n e},
wobei n die Ladungsträgerdichte, also \frac{N}{V}, bezeichnet. Einsetzen liefert dann die bekannte Gleichung
U_{\text{H}} = \frac{1}{n e} \frac{I \mathcal{B}}{d};
0.0.1.2 ↑ Erneute kurze Zusammenfassung des Sachverhalts beim Zyklotron
Beim Zyklotron wird die Zentripetalkraft von der Lorentzkraft aufgebracht, F_{\text{r}} und F_{\text{L}} sind also gleich groß:
F_{\text{r}} = F_{\text{L}}; \Rightarrow m \frac{v^2}{r} = \mathcal{B} Q v;
Substitution eines v mit \omega r liefert dann die Kreisfrequenz \omega, die der Wechselstrom, der die Elektronen von der einen Seite zur anderen beschleunigt, aufweisen muss:
\omega = \frac{\mathcal{B} Q}{m};
Bemerkenswert ist, dass \omega nicht von der Geschwindigkeit v der Ladungsträger abhängt (siehe 36. Hausaufgabe)!
(Benötigte Zeit: 53 min)