«11C» 11. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 11. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Blatt, Aufgabe 10

Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_a: x \mapsto f_a(x) = ax^2 + \left(1 - 2a\right)x; x \in \mathds{R};$f_a:x\mapsto f_a\left(x\right)=a{x}^2+\left(1-2a\right)x;x\in R;$

mit dem Parameter a \in \mathds{R}$a\in R$ und den zugehörigen Graphen G_a$G_a$.

a)

Zeichne die Graphen G_1$G_1$, G_0$G_0$ und G_{-1}$G_{-1}$.

b)

Zeige, dass genau zwei Punkte allen Graphen der Schar angehören.

{} \begin{array}{rcl|l} {} f_{a_1}(x) & = & f_{a_2}(x) \\ {} a_1x^2 + \left(1-2a_1\right)x & = & a_2x^2 + \left(1-2a_2\right)x & {} :x \Longrightarrow x_1 = 0; \\ {} a_1x + 1 - 2a_1 & = & a_2x + 1 - 2a_2 & -a_2x -\left(1 - 2a_1\right) \\ {} x \left(a_1 - a_2\right) & = & 1 - 2a_2 - 1 + 2a_1 & :\left(...\right) \\ {} x & = & 2 \frac{a_1 - a_2}{a_1 - a_2} \\ {} x & = & 2 {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill f_{a_1}\left(x\right)& \hfill =\hfill & f_{a_2}\left(x\right)\hfill \\ \hfill a_1{x}^2+\left(1-2a_1\right)x& \hfill =\hfill & a_2{x}^2+\left(1-2a_2\right)x\hfill & :x\Rightarrow x_1=0;\hfill \\ \hfill a_{1}x+1-2a_1& \hfill =\hfill & a_{2}x+1-2a_2\hfill & -a_{2}x-\left(1-2a_1\right)\hfill \\ \hfill x\left(a_1-a_2\right)& \hfill =\hfill & 1-2a_2-1+2a_1\hfill & :\left(...\right)\hfill \\ \hfill x& \hfill =\hfill & 2\frac{a_1-a_2}{a_1-a_2}\hfill \\ \hfill x& \hfill =\hfill & 2\hfill \end{array}$

⇒ P_1(0; 0); P_2(2; 2);$P_1\left(0;0\right);P_2\left(2;2\right);$

c)

Wie muss a$a$ gewählt werden, damit G_a$G_a$ durch den Punkt P(4; 0)$P\left(4;0\right)$ geht? Zeichne den zugehörigen Graphen.

{} \begin{array}{rcl} {} y_P & = & f_a(x_P) \\ {} 0 & = & 8a + 4 \\ {} -\frac{1}{2} & = & a \\ {} \end{array}$\begin{array}{ccc}\hfill y_P& \hfill =\hfill & f_a\left(x_P\right)\hfill \\ \hfill 0& \hfill =\hfill & 8a+4\hfill \\ \hfill -\frac{1}{2}& \hfill =\hfill & a\hfill \\ \hfill \end{array}$

d)

Bestimme allgemein für a \neq 0$a\ne 0$ die Nullstellen von f_a$f_a$.

f_a(x) = 0; \Longrightarrow ax + 1 - 2a = 0; \Longrightarrow x = \frac{2a - 1}{a};$f_a\left(x\right)=0;\Rightarrow ax+1-2a=0;\Rightarrow x=\frac{2a-1}{a};$

⇒ N(\frac{2a - 1}{a}; 0);$N\left(\frac{2a-1}{a};0\right);$

e)

Für welchen Wert von a$a$ berührt G_a$G_a$ die x$x$-Achse?

{} \left.\begin{array}{l} {} x = \frac{2a-1}{2a}; \\ {} f_a(x) = ax^2 + \left(1 - 2a\right)x = ax + 1 - 2a = 0; {} \end{array}\right\} \Longrightarrow \\ {} \begin{array}{rcl|l} {} a \frac{2a-1}{2a} + 1 - 2a & = & 0 & \cdot 2 \\ {} 2a - 1 + 2 - 4a & = & 0 \\ {} -2a + 1 & = & 0 & +2a :2 \\ {} \frac{1}{2} & = & a {} \end{array}$\left.\begin{array}{c}x=\frac{2a-1}{2a};\hfill \\ f_a\left(x\right)=a{x}^2+\left(1-2a\right)x=ax+1-2a=0;\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{cccc}\hfill a\frac{2a-1}{2a}+1-2a& \hfill =\hfill & 0\hfill & \cdot 2\hfill \\ \hfill 2a-1+2-4a& \hfill =\hfill & 0\hfill \\ \hfill -2a+1& \hfill =\hfill & 0\hfill & +2a:2\hfill \\ \hfill \frac{1}{2}& \hfill =\hfill & a\hfill \end{array}$